2023/03/19 (更新日: 2023/12/15)

02-07 根号を含む計算ができる

2_数と式

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①おさえるべき重要問題
• ➁解法
• ➂全問題の解説は問題集にあります

数と式は、基礎は簡単
でも、発展は最難な領域

①おさえるべき重要問題

問1

問2

問3

➂解法

解くポイント

ポイントは3つあります。

1. √を(左辺)に、それ以外を(右辺)にして両辺を2乗にした関係式で攻める！
2. 関係式を使って次数を下げて1次式に持って行く
3. \(\sqrt{x^2}\)=|\(x\)|と絶対値がつく点に注意！

上を意識して解いてみましょう。

問2の解法

関係式を作る

●\(α\)=\(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
\(2α\)=\(\sqrt{5}+1\)
\(\sqrt{5}\)=\(2α-1\)
(両辺)を2乗して、平方根を削除すると、
5=\((2α-1)^2\)
\(4α^2-4α-4\)=0
\(α^2\)=\(α+1\)

とても大事なのは、

では、解いてみましょう。

問(1)

\(α^3-2α^2+4α-2\)

●\(α^2\)=\(α+1\)
●\(α^3\)=\(αα^2\)=\(α(α+1)\)
=\(α^2+α\)=\((α+1)+α\)=\(2α+1\)

よって、求める式は、
\(α^3-2α^2+4α-2\)
=\(2α+1\)-2(\(α+1\))+4\(α\)-2
=4\(α\)-3

ここまで簡単にしてから、\(α\)=\(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)を代入します。
4\(α\)-3=2(\(\sqrt{5}+1\))-3
=2\(\sqrt{5}\)-1

問(2)

解き方は問(1)と同じです。

●\(α^3\)=\(2α+1\)
●\(α^4\)=\(αα^3\)=\(α(2α+1)\)
=\(2α^2+α\)=\(2(α+1)+α\)=\(3α+2\)
●\(α^5\)=\(αα^4\)=\(α(3α+2)\)
=\(3α^2+2α\)=\(3(α+1)+2α\)=\(5α+3\)

よって、求める式は
\(\frac{α^3+α+1}{α^5}\)
=\(\frac{2α+1+α+1}{5α+3}\)
=\(\frac{3α+2}{5α+3}\)

ここまで簡単にしてから、\(α\)=\(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)を代入します。
=\(\frac{3α+2}{5α+3}\)
=\(\frac{3\sqrt{5}+7}{5\sqrt{5}+11}\)
=\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)

問3の解法

解法

\(x\)=\(a+\frac{1}{a}\)を
\(\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{ x-\sqrt{x^2-4}}\)へ
代入しますが、(分母）、（分子）それぞれ見ていきます。

(分子)= \(x+\sqrt{x^2-4}\)
= \(( a+\frac{1}{a})+\sqrt{( a+\frac{1}{a})^2-4}\)
= \(( a+\frac{1}{a})+\sqrt{( a-\frac{1}{a})^2}\)
=\(( a+\frac{1}{a})\)+|\( a-\frac{1}{a}\)|

(分母)= \( x-\sqrt{x^2-4}\)
= \(( a+\frac{1}{a})-\sqrt{( a+\frac{1}{a})^2-4}\)
= \(( a+\frac{1}{a})-\sqrt{( a-\frac{1}{a})^2}\)
=\(( a+\frac{1}{a})\)-|\( a-\frac{1}{a}\)|

まとめると、

折角なので、絶対値を外しましょう。

|\( a-\frac{1}{a}\)|の中身の正負条件は
●\( a-\frac{1}{a}\) ≥0 (\(a\) ≥1)
●\( a-\frac{1}{a}\) ≤0 (1 ≥ \(a\) ≥0)
より

●1 ≥ \(a\) ≥0のとき、
\(\frac{(a+\frac{1}{a})+|a-\frac{1}{a}|}{(a+\frac{1}{a})-|a-\frac{1}{a}|}\)
=\(\frac{(a+\frac{1}{a})-(a-\frac{1}{a})}{(a+\frac{1}{a})+(a-\frac{1}{a})}\)
=\(\frac{\frac{2}{a}}{2a}\)
=\(\frac{1}{a^2}\)

●(\(a\) ≥1)のとき、
\(\frac{(a+\frac{1}{a})+|a-\frac{1}{a}|}{(a+\frac{1}{a})-|a-\frac{1}{a}|}\)
=\(\frac{(a+\frac{1}{a})+(a-\frac{1}{a})}{(a+\frac{1}{a})-(a-\frac{1}{a})}\)
=\(\frac{2a}{\frac{2}{a}}\)
=\(a^2\)

できましたね。

③全問題の解説は問題集にあります

「第2章　数と式」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
数と式の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。

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(現在問題集作成中。)

問題集イメージ図(予定)

是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。

まとめ

「02-06_背理法がわかる」を解説しました。

• ①背理法は高校数学で最高級の証明方法
• ➁おさえるべき重要問題
• ➂解法
• ➃全問題の解説は問題集にあります

高校数学_数と式

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