02-08 指数と対数がわかる
「指数と対数がよくわからない」、などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ➁解法
- ➂全問題の解説は問題集にあります
数と式は、基礎は簡単
でも、発展は最難な領域
「数Ⅲの微積」という人は単に力がないだけ
数学ができる人は、「数Aの数と式」と答える
逆に「数Aの数と式」は基礎は簡単な分、いくらでも難しくできる！難関大学の論証問題はすべて「数Aの数と式」！
基礎をしっかりおさえつつ
難関問題の入り口まで解説します。
①おさえるべき重要問題
問1
電卓を使わずに\(log_2 3\)の小数第１位までもとめよ。
問2
\(log_2 3\)=\(a\),\(log_2 5\)=\(b\)とするとき、次の各式を\(a,b\)で表せ。
(1) \(log_2 30\)
(2) \(log_2 0.3\)
(3) \(log_2 \sqrt{\frac{10}{27}}\)
(4) \(log_8 9\)
(5) \(log_{0.25} 0.3\)
問3
(1) \(log_3 12\)=\(a\)のとき、\(log_9 24\)を\(log\)を含まない\(a\)の式で表せ。
(2) \(log_4 3\)=\(a\),\(log_9 5\)=\(b\)のとき、\(log_{10} 5\)を\(log\)を含まない\(a,b\)の式で表せ。
(3) \(67^x\)=27,\(603^y\)=81のとき、\(\frac{3}{x}-\frac{4}{y}\)の値を求めよ。
➂解法
解くポイント
ポイントは1つあります。
- 公式を練習しよう！
上を意識して解いてみましょう。
問1の解法
思わず電卓使いたくなりますが、手計算で計算しましょう。
どんどん挟んでいくと下の表ができます。
| 下 | 値 | 上 | log下 | log値 | log上 | 範囲 | |
| 2 | 3 | 4 | \(log_2 2\)=1 | \(log_2 3\) | \(log_2 4\)=2 | 1<\(log_2 3\)<2 | 1～2 |
| 4 | 3\(\sqrt{3}\) | 8 | \(log_2 4\)=2 | \(log_2 3\sqrt{3}\) | \(log_2 8\)=3 | 2<1.5\(log_2 3\)<3 | 1.33～2 |
| 8 | 9 | 16 | \(log_2 8\)=3 | \(log_2 9\) | \(log_2 16\)=4 | 3<2\(log_2 3\)<4 | 1.5～2 |
| 8 | 9\(\sqrt{3}\) | 16 | \(log_2 8\)=3 | \(log_2 9\sqrt{3}\) | \(log_2 16\)=4 | 3<2.5\(log_2 3\)<4 | 1.5～1.6 |
どんどん計算すると、1.5～1.6の間に来ることがわかるので、
小数第１位まで計算すると1.5とわかりますね。
3の指数乗のうち、2の指数乗に近いもので挟むとよいです。ベストは、
8と9、9\(\sqrt{3}\)=15.58 と16で挟んだところが決定的でしたね。
問2の解法
公式を使って、どんどん解いていきましょう。
(1)の解法
(1) \(log_2 30\)
=\(log_2 2×3×5\)
=\(log_2 2\)+\(log_2 3\)+\(log_2 5\)
=\(1+a+b\)
(2)の解法
(2) \(log_2 0.3\)
=\(log_2 \frac{3}{10}\)
=\(log_2 \frac{3}{2×5}\)
=\(log_2 3\)-\(log_2 2\)-\(log_2 5\)
=\(a-1-b\)
(3)の解法
(3) \(log_2 \sqrt{\frac{10}{27}}\)
=\(\frac{1}{2} log_2 \frac{10}{27}\)
=\(\frac{1}{2}( log_2 2×5 -3log_2 3)\)
=\(\frac{1}{2}( 1+b -3a)\)
(4)の解法
(4) \(log_8 9\)
=\(\frac{log_2 9}{log_2 8}\)
=\(\frac{2log_2 3}{3}\)
=\(\frac{2}{3}a\)
(5)の解法
(5) \(log_{0.25} 0.3\)
=\(\frac{log_2 0.3}{log_2 \frac{1}{4}}\)
=-2\(log_2 0.3\)
=-2 (\(a-1-b )\)
問3の解法
(1)の解法
\(log_3 12\)=\(log_3 2^2×3\)=2\(log_3 2\)+1=\(a\)
ですね。
つまり、
\(log_3 2\)=\(\frac{1}{2}(a-1)\)
\(log_9 24\)=\(\frac{log_3 24}{log_3 9}\)
=\(\frac{log_3 2^3×3}{2}\)
=\(\frac{3log_3 2 +1}{2}\)
と変形すると、
=\(\frac{3\frac{1}{2}(a-1) +1}{2}\)
=\(\frac{3a-1}{4}\)
(2)の解法
logの底を4⇒2,9⇒3に下げましょう。素数で小さい値を底にした方が何かと便利です（経験上）
=\(\frac{1}{2} log_2 3 \)=\(a\)から
\(log_2 3\)=\(2a\)
●\(log_9 5\)=\(\frac{log_3 5}{log_3 9}\)
=\(\frac{1}{2} log_3 5 \)=\(b\)
\(log_3 5\)=\(2b\)
ターゲットの\(log_{10} 5\)をみると、3が無いですね。
3を\(a,b\)を使ってうまく消せないか？を考えましょう。
\(log_2 3\)×\(log_3 5\)
=\(log_2 3\)×\(\frac{log_2 5}{log_2 3}\)
=\(log_2 5\)=\(4ab\)
と上手に3が消せました。
よって、
\(log_{10} 5\)
=\(\frac{log_2 10}{log_2 5}\)
=\(\frac{1+log_2 5}{log_2 5}\)
=\(\frac{1+4ab}{4ab}\)
出来ましたね！
(3)の解法
まず、対数をとりましょう。底は3とします。
●\(log_3 67^x\)=\(log_3 27\)
\(x log_3 67\)=3
●\(log_3 603^y\)=\(log_3 81\)
\(y log_3 67×9\)=4
\(y (2+log_3 67)\)=4
つまり、
\(x\)=\(\frac{3}{log_3 67}\)
\(y\)=\(\frac{4}{2+log_3 67}\)
となります。
ターゲットは
\(\frac{3}{x}-\frac{4}{y}\)
=\(3×\frac{log_3 67}{3}-\frac{4×(2+log_3 67)}{4}\)
=\(log_3 67\)- \((2+log_3 67)\)
=-2
できましたね。
③全問題の解説は問題集にあります
「第2章 数と式」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
数と式の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第2章 数と式
02-01 恒等式
02-02 因数分解
02-03 整式の剰余
02-04 整数の性質
02-05 方程式の整数解
02-06 背理法
02-07 根号を含む計算
02-08 指数と対数
02-09 常用対数
02-10 式の値
02-11 不等式の証明・相加相乗平均
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(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「02-06_背理法がわかる」を解説しました。
- ①背理法は高校数学で最高級の証明方法
- ➁おさえるべき重要問題
- ➂解法
- ➃全問題の解説は問題集にあります
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