01-02_２次関数の値域がわかる
「２次関数の値域で、頂点座標や区間が文字式になっていて、うまく場合分けできない」、などと困っていませんか？
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
中学まで数学が得意だったのに、高校でつまづき、
理系を断念して文系に行く人が多い！
理系が少数な理由は高校数学ができなくなるから！
最初に多くの人が脱落していく二次関数を丁寧に解説していきます。
なので、ナメてかかると、悲惨になる、「2次関数の値域」のポイントをしっかり解説します。
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
①重要問題
問1
0 ≤ \(x\) ≤ 2を定義域とする関数\(f(x)=x^2+2a\)の最大値を\(M\),最小値を\(m\)とする。
(1) \(M\)を\(a\)で表し、関数\(M\)=\(g(a)\)のグラフを描け。
(2) \(m\)を\(a\)で表し、関数\(m\)=\(h(a)\)のグラフを描け。
問2
関数\(f(x)=x^2-3x+4\)の区間\(t\) ≤ \(x\) ≤ \(t+1\)における最大値を\(M\),最小値を\(m\)とする。
(1) \(M\)を\(t\)で表し、関数\(M\)=\(g(t)\)のグラフを描け。
(2) \(m\)を\(t\)で表し、関数\(m\)=\(h(t)\)のグラフを描け。
問3
関数\(f(x)=-x^2+ax-a\)(0 ≤ \(x\) ≤ 5)の最大値が3となるような定数\(a\)を求めよ。
では解説しましょう。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1でおさえるべきポイント
問1でおさえるべきポイントは、
- 定数\(a\)がいくらかは決まっていない。
- 決まっていないものは、全条件調べる必要がある
- 場合分けして、調べるのが高校数学の醍醐味
- 解法は、１つだけ。決まったパターンを何度も練習しよう！ 球技の素振りと同じ!
決まったパターンを何度も解くのは、ＱＣ検定®２級の勉強方法と全く同じ！
だからＱＣ検定®２級が合格できない人は、高校時代の勉強方法が不完全ってことです。
QC検定®２級は、学歴・偏差値で合否が決まる気がします。厳しい言い方だけど。その思いは、高校数学に学びのエッセンスがあると確信しているから。
①ＱＣ検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂ＱＣプラネッツは、ＱＣ検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。
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問1の解法
では、解いてみましょう。
平方完成すると
\(f(x)=x^2+ax\)
=\((x+\frac{a}{2})^2 – \frac{a^2}{4}\)
より、頂点の座標は、
(\(-\frac{a}{2}\), – \(\frac{a^2}{4}\))
ですね。
ここで、ポイントなのは、
●区間は0～２なので、\(a\)に入る値と区間の値の大小関係によって、最大値、最小値の候補が変わる
●だから、全パターンを調べないといけない
ここですね！ これがちゃんと理解できるかで、高校からの勉強の勝ち負けが決まります。勝ちたいなら、これを何度も練習です！ ひらめき、才能は不要です。反復練習で高校数学の偏差値は90まではイケます！
私自身、何度も復習するだけで、数学の偏差値は80以下になったことがありません。だけど、京大プレ入試で撃沈したときは、才能やひらめきが必要と感じた。でもこれは京大以上の話。阪大、東北大、九大くらいまでなら、何回復習して練習を積みあげたかで決まるよ。
ほとんどの大学は勉強したかどうかくらいしか見ていないよ。だって、それくらいで勝敗が決まるから。
京大は別格、頭の良さを解いている。ノーベル賞出す学校だからね。凡人は来るなってこと！
すいません、話を戻します。
区間と定数\(a\)の関係
難しくありません！
描く手間を省くからわからなくなるんです！ 数学でつまづく友人ほど、数式で済まそうとしてた！
じゃー描いてみましょう！
ポイントは、
下図になりますね。
3つに場合分けできました。
- (i)関数の頂点が区間0～2の右側にある場合
- (i)関数の頂点が区間0～2の間にある場合
- (i)関数の頂点が区間0～2の左側にある場合
簡単ですよね。だって、
これを数式でまとめていきましょう。
場合分けしてまとめよう！
まず、(i)～(iii)の条件を数式化しましょう。
例に、(i)関数の頂点が区間0～2の右側にある場合は解くと \(x\) ≤ -4のときですね。
つまり、
- (i)関数の頂点が区間0～2の右側にある場合→ \(x\) ≤ -4のとき、
- (i)関数の頂点が区間0～2の間にある場合→-4 ≤\(x\) ≤ 0のとき、
- (i)関数の頂点が区間0～2の左側にある場合→\(x\) ≤0のとき
について、描いた図に従って書いていきます。機械的に書けばＯＫです。
●(i) \(x\) ≤ -4のとき、
M=\(f(0)\)=0
m=\(f(2)\)=4+2\(a\)
●(ii) -4 ≤\(x\) ≤ 0のとき、
M=max{\(f(0)\),\(f(2)\)}=max{0,4+2\(a\)}
m=\(f(-\frac{a}{2})\)=\(-\frac{a^2}{4}\)
ここで、max{a,b}はa,bのどちらか大きい方と言う意味で、立派な数学記号です。
たまに、「高校で使わない数学記号を使うな！」という変な先生がいますが、無視しましょう。こういう先生は100%センスがありません。
●(i) \(x\) ≤ -4のとき、
M=\(f(2)\)=\(4+2a\)
m=\(f(0)\)=0
以上をグラフにしてみましょう。
いかがでしょうか。この問いを何百回も解いて、確実にものにしましょう。ここをやるか、やらないかで高校生ライフが楽しいか苦しいかが決まります。
③全問題の解説は問題集にあります
「第１章 二次関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
二次関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第1章 二次関数
01-00 ２次関数の勉強の心得
01-01 ２次関数とそのグラフ
01-02 ２次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値等を含む関数
01-07 絶対値等を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件・集合
01-09 全称命題と存在命題
01-10 含意命題と包含関係
01-11 必要条件・十分条件
問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「01-02_01-02_２次関数の値域がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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