01-03_２次方程式がわかる
「２次方程式の解を使った式の値の導出方法がわからない」、などと困っていませんか？
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
中学まで数学が得意だったのに、高校でつまづき、
理系を断念して文系に行く人が多い！
理系が少数な理由は高校数学ができなくなるから！
最初に多くの人が脱落していく二次関数を丁寧に解説していきます。
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
①重要問題
問1
2次方程式\(2x^2-4x-3=0\)の解を\(α、β\)とするとき、次の式の値をそれぞれ求めよ。
(1) \(α^2 + β^2\)
(2) \(\frac{1}{α}+\frac{1}{β}\)
(3)\(\frac{β}{α-1}+\frac{α}{β-1}\)
(4)\(α^2 – β^2\)
問2
次の2つの2次方程式が、唯一の共通な実数解をもつための条件を求め、そのときの共通でない方の解の和を求めよ
\(x^2+ax+b=0\) …①
\(x^2+bx+a=0\) …➁
では解説しましょう。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1でおさえるべきポイント
問1でおさえるべきポイントは、
- 2次方程式から\(α+β\)、\(αβ\)の値はすぐわかる。
- \(α+β\)、\(αβ\)を使って式の値を解く！
- 点数源になるのでしっかり身に着けよう！
問1の解法
\(α+β\)、\(αβ\)の値
\(2x^2-4x-3=0\)
\(2(x-α)(x-β)=0\)
より、
\(α+β=2\)
\(αβ\)=-\(\frac{3}{2}\)
ですね。
この式を使って、式の値を求めます。
(1)の値
(1) \(α^2 + β^2\)=\((α+β)^2 -2αβ\)
=\(2^2\)-2×(-\(\frac{3}{2}\))
=7
(2)の値
(2) \(\frac{1}{α}+\frac{1}{β}\)
=\(\frac{β+α}{αβ}\)
=2×(-\(\frac{2}{3})\)
=-\(\frac{4}{3}\)
(3)の値
(3)\(\frac{β}{α-1}+\frac{α}{β-1}\)
=\(\frac{β(β-1)+α(α-1)}{(α-1)(β-1)}\)
=\(\frac{(α^2+β^2)-(α+β)}{αβ-(α+β)+1}\)
=\(\frac{7-2}{-\frac{3}{2}-2+1}\)
=-2
(4)の値
(4)\(α^2 – β^2\)=\((α+β)(α-β)\)
さて、困った！
\((α-β)^2=(α+β)^2 – 4αβ\)
で計算しますが、１点注意が必要です。
\((α-β)^2=(α+β)^2 – 4αβ\)
=4+6=10
\((α-β)\)=±\(\sqrt{10}\)
です。
こういう、細かい所が数学の難しさでもありますが、徐々に慣れていきましょう。
(4)\(α^2 – β^2\)=\((α+β)(α-β)\)
=2×(±\(\sqrt{10}\))
=±2\(\sqrt{10}\)
③全問題の解説は問題集にあります
「第１章 二次関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
二次関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第1章 二次関数
01-00 ２次関数の勉強の心得
01-01 ２次関数とそのグラフ
01-02 ２次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値等を含む関数
01-07 絶対値等を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件・集合
01-09 全称命題と存在命題
01-10 含意命題と包含関係
01-11 必要条件・十分条件
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是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「01-03_２次方程式がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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