01-05_2次方程式の解の存在範囲がわかる
「2次方程式の解の存在範囲が苦手だ」、「模試の成績がめっちゃ悪い！」などと困っていませんか？
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
人生が変わった！
今振り返ると、本当にそうです。この問題が模試で解ける・解けないの差で学歴が決まりました。ＱＣプラネッツ自身も高校の同級生をたくさんみて、間違いありません！
中学まで数学が得意だったのに、高校でつまづき、
理系を断念して文系に行く人が多い！
理系が少数な理由は高校数学ができなくなるから！
最初に多くの人が脱落していく二次関数を丁寧に解説していきます。
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
決まったパターンを反復練習すれば偏差値80は超えます！
決まったパターンを反復練習していないから、できないんですよ！って何度も言っても、それでもやってくれないんです！ やったもん勝ちですよ！
①重要問題
問1
2次方程式\(x^2+ax+b=0\)の解について以下の条件となるように、実数\(a,b\)の条件を定めよ。
(1)２つの正の解をもつ。
(2)正の解と負の解をもつ。
問2
2次方程式\(x^2-2(a-4)x+2a=0\)の解が次の条件を満たすように、実数\(a\)の条件を定めよ。
(1) 解は２つとも2より大きい。
(2) 解は2つとも0から２の間にある。
(3)一方の解は2より大きく、他方の解は2より小さい。
問３
2次方程式\(3x^2-2(a-1)x+2(a-1)=0\)の解が２つとも、-1 < \(x\) < 1となるように、実数\(a\)の条件を定めよ。
では解説しましょう。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問2でおさえるべきポイント
問2でおさえるべきポイントは、
- 条件を満たす図を描けること
最初は図の描き方は暗記で十分！
高２くらいなれば考えながら図を描くことができるから - 定数\(a\)の値によって、場合分けが生じるが丁寧に解く。
- 図で確認と、場合分けの練習量によって高校数学の出来が変わってくる！
問2がわかれば、問1,3と同様に解けます！。これを何度もできるまでやらないから、段々理系科目ができなくなる！でも、スポーツと同じで、反復練習でできる！
２次関数をしっかり勉強して、ライバルより圧倒的な差をつけましょう！
問2の解法
問1
●頂点の位置、範囲の境界を意識しながら図を描く！
まず、頂点の位置である、x座標とy座標はどこに置けばよいかを図を描いてみましょう。下図のように４パターンを機械的に分けて考えられますよね！
- x < 2 かつ y >0
- x < 2 かつ y <0
- x > 2 かつ y >0
- x > 2 かつ y >0
図で見ると、解が2以上な条件は
- x > 2 かつ y >0 ですね！
で、それで十分でしょうか？
次に、境界の条件を見ましょう。\(y=f(2)\)の条件はどうでしょうか？ x > 2 かつ y >0の条件をもったまま、さらに下図のように分けると、
- \(y=f(2)\) > 0 が必須ですね！
以上、まとめると、
- 頂点のx座標 > 2
- 頂点のy座標 y > 0
- \(y=f(2)\) > 0
という条件が、図を描くことで視覚的に確かめながら式を作る事ができます！これが高校数学では必須のスキル！
あとは解くだけ
平方完成すると
2次方程式\(x^2-2(a-4)x+2a=0\)
=\((x-(a-4))^2+2a-(a-4)^2\)
条件式は
●\(a-4\) > 2 ⇒解くと、\(a\) > 6
●\(2a-(a-4)^2\) < 0 ⇒解くと、\(a\) < 2, 8 > \(a\)
●\(f(2)=-2a+20\) > 0⇒解くと、\(a\) < 10
すね。
3つ条件をすべて満たす範囲も図で確かめましょう。端折ったらダメ！
まとめると、8 < \(a\) < 10 とわかりますね。
最初は難しいけど、100回以上は復習しよう！ 人生変わるよ！マジで！
問2
問1と同様に解きましょう。説明はやや省きます。
解が0～2の間にある条件を、図を描いて確かめよう！
図から次の式が作れますね！
条件式は
●頂点のx座標⇒ 0 < \(a-4\) < 2
●頂点のy座標⇒ \(-a^2+10a-16\) < 0
●\(f(0)\) > 0⇒ \(2a\) > 0
●\(f(2)\) > 0⇒ \(a\) <10
\(a\)を満たす範囲を図示すると
あれれ、4条件とも満たす\(a\)の範囲はありませんね。
つまり、解はなしです。
問3
問1,2と同様に解きましょう。説明はやや省きます。
条件を、図を描いて確かめよう！
図から次の式が作れますね！
意外とシンプルな条件式ですね。もっと条件はないか逆に心配になりますが、これでＯＫです。
●\(f(2)\) < 0 なら必然的に頂点のy座標は負になるし、
２つの解は存在する条件を満たしますし、
●頂点のx座標はどこにあっても、\(f(2)\) < 0だけで問いの条件を満たせます。
条件式は
●\(f(2)\) > 0⇒ \(a\) <10
これが解です。
場合分けに慣れると一気に勝率が上がるし、
場合分けもパターンがあるので、慣れると簡単！
「図を描いて、条件式を作り、場合分けするスキル」は絶対に習得しましょう！ 一気に高校数学が得意になれます！
③全問題の解説は問題集にあります
「第１章 二次関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
二次関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第1章 二次関数
01-00 ２次関数の勉強の心得
01-01 ２次関数とそのグラフ
01-02 ２次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値等を含む関数
01-07 絶対値等を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件・集合
01-09 全称命題と存在命題
01-10 含意命題と包含関係
01-11 必要条件・十分条件
問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「01-05_2次方程式の解の存在範囲がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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