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01-06_絶対値を含む関数がわかる

1_2次関数

「絶対値が含む関数が苦手!」と困っていませんか?

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

01-06_絶対値を含む関数
  • ①おさえるべき重要問題
  • ②解法
  • ③全問題の解説は問題集にあります
絶対値関数は丁寧に場合分けすれば大丈夫!

●図を描く!
●場合分けを丁寧に!
●同じ問題を何度も練習

  • ①重要問題
  • ②重要問題を解説
  • ③全問題の解説は問題集にあります
高校数学はひらめき、才能、天性は不要!
決まったパターンを反復練習すれば偏差値80は超えます!

決まったパターンを反復練習していないから、できないんですよ!って何度も言っても、それでもやってくれないんです! やったもん勝ちですよ!

①重要問題

3問あります。絶対解けるまで何度も練習しよう!

問1

【問1】
次の関数のグラフを描け。
(1)\(f(x)=|x-2|\)
(2) \(f(x)=|x-1|+|x+2|\)
(3)\(f(x)=||x|-1|\)

問2

【問2】
次の関数のグラフを描け。
(1) \(f(x)=(x-1)|x+2|\)
(2) \(f(x)=|x^2-2x|\)
(3) \(f(x)=|x^2-3x|+x+5\)

問3

【問3】
関数\(f(x)=|2x-a|+x\) の区間(0 ≤ \(x\) ≤ 1) における最大値\(M\),\(m\)を求め、\(a\)の関数\(M\),\(m\)のグラフを描け

では解説しましょう。

②重要問題を解説

本ブログでは、【問3】を解説!
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。

問3でおさえるべきポイント

問3でおさえるべきポイントは、

  1. 絶対値の外し方は、場合分けを丁寧にやる!
  2. 微積分等にも絶対値関数があるが、丁寧に場合分けすれば大丈夫!

問3がわかれば、問1,2と同様に解けます!。これを何度もできるまでやらないから、段々理系科目ができなくなる!でも、スポーツと同じで、反復練習でできる!

高校数学は正しい勉強法を身に着ければ、頭の良し悪しは関係ない! 正しい勉強法をやらないから、優秀な人でも数学ができなくなる!

2次関数をしっかり勉強して、ライバルより圧倒的な差をつけましょう!

問3の解法

絶対値の外し方(場合分け)

絶対値の外し方は中身の正負で分ける!

\(|2x-a|\)なので、
●\(|2x-a|\)=\(2x-a\) (\(2x\) ≥ \(a\))
●\(|2x-a|\)=\(-(2x-a)\) (\(2x\) ≤ \(a\))
と場合分けして、絶対値を外すことができます。

よって、\(f(x)\)は
●\(f(x)\)=\((2x-a)+x\)=\(3x-a\) (\(x\) ≥ \(a/2\))
●\(f(x)\)=\(-(2x-a)+x\)=\(-x+a\) (\(2x\) ≤ \(a\))

2次関数

区間(0 ≤ \(x\) ≤ 1)の場合分け

今回、区間(0 ≤ \(x\) ≤ 1)ですが、\(a\)の値がいくらかが不定なので、\(a\)が取る値によって、\(f(x)\)の区間(0 ≤ \(x\) ≤ 1)の形も変わります。

区間と\(a\)の大小関係で場合分けする!
2次関数は場合分けに慣れること!

上図において、区間(0 ≤ \(x\) ≤ 1)を左から右へシフトすると3つの場合分けができます。下図に描きます。

2次関数

大事なのは、

「図を描く!場合分けする!」に慣れること!
才能は不要、必要なのは地味な反復練習!

(i)の場合

2次関数

(i)は 1 ≤ \(a/2\)、つまり2 ≤ \(a\)の場合
\(M\)と\(m\)は図より、
●\(M\)=\(f(0)\)=\(-0+a\)=\(a\)
●\(m\)=\(f(1)\)=\(-1+a\)

(ii)の場合

2次関数

(ii)は 0 ≤ \(a/2\) ≤ 1、つまり0 ≤ \(a\) ≤ 2の場合
\(M\)と\(m\)は図より、
●\(M\)=\(max(f(0),f(1))\)=\(max((-0+a),(3×1-a))\)=\(max(a,3-a)\)
●\(m\)=\(f(a/2)\)=\(-a/2+a\)=\(a/2\)

(iii)の場合

2次関数

(iii)は \(a/2\) ≤ 0、つまり\(a\) ≤ 0の場合
\(M\)と\(m\)は図より、
●\(M\)=\(f(1)\)=\(3-a\)
●\(m\)=\(f(0)\)=\(-a\)

\(M(a),m(a)\)のグラフを描く

まとめると、
●\(M(a)\)
=\(a\) (2 ≤ \(a\))
=\(max(a,3-a)\) (0 ≤ \(a\) ≤ 2)
=\(3-a\) (\(a\) ≤ 0)

●\(m(a)\)
=\(-1+a\) (2 ≤ \(a\))
=\(a/2\) (0 ≤ \(a\) ≤ 2)
=\(-a\) (\(a\) ≤ 0)

グラフに描くと、こうなります。

2次関数

当たり前ですが、最大値\(M\)の方がずっと最小値\(m\)より大きいですね。これが逆転とかしていたら、どこかで計算ミスしていると気づくはずですね。

できましたね!

面倒くさがらず、コツコツ場合分けしましょう!
場合分けに慣れると一気に勝率が上がるし、
場合分けもパターンがあるので、慣れると簡単!

「図を描いて、条件式を作り、場合分けするスキル」は絶対に習得しましょう! 一気に高校数学が得意になれます!

③全問題の解説は問題集にあります

「第1章 二次関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
二次関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。

「第1章 二次関数」の目次
第1章 二次関数

01-00 2次関数の勉強の心得
01-01 2次関数とそのグラフ
01-02 2次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値等を含む関数
01-07 絶対値等を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件・集合
01-09 全称命題と存在命題
01-10 含意命題と包含関係
01-11 必要条件・十分条件

問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)

問題集イメージ図(予定)

是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。

まとめ

「01-06_絶対値を含む関数」を解説しました。

  • ①おさえるべき重要問題
  • ②解法
  • ③全問題の解説は問題集にあります


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