01-09_含意命題と包含関係がわかる
「命題・条件・否定などが苦手！」と困っていませんか？
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
●図を描く！
●場合分けを丁寧に!
●同じ問題を何度も練習
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
決まったパターンを反復練習すれば偏差値80は超えます！
決まったパターンを反復練習していないから、できないんですよ！って何度も言っても、それでもやってくれないんです！ やったもん勝ちですよ！
①重要問題
問1
次の命題の真偽を確認し、偽の場合その反例を１つ挙げよ。ただし、\(x,y,z\)は実数とする。
(1) \(x+y\) >2 , \(xy\) > 1 ならば、\(x\) > 1 ,\(y\) > 1である。
(2) |\(x-1\)| < 2 ならば、 \(x^2+2x-3\) < 0である。
(3) \(x^2+ y^2\) > \(x+y\)ならば、 \(x\) <0、または \(y\) < 0 である。
問2
次の各々の命題が真となるように実数\(a\)の値の範囲を定めよ。
(1)1 ≤ \(x\) < 2 ならば|\(x-3a\)| < \(a+1\)である。
(2)2 < \(x\) < 3ならば、\(x^2-4ax+3a^2\) < 0 である。
(3)0 < \(x\) < 4を満たす実数\(x\)が、\(x^2-2ax+2a+3\) > 0 を満たす。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1でおさえるべきポイント
問1でおさえるべきポイントは、
たしかに、反例となる\(x,y\)を１つ挙げればよいですが、図形で考えましょう。ただし、図形の「軌跡・領域」は高２数学の範囲なので、高１の方は理解できればOKです。
問1の解法
(1)の解法
\(x+y\) > 2 ⇒ \(y\) > \(2-x\)
\(xy\) > 1⇒\(y\) > \(\frac{1}{x}\)
の領域と
\(x\) > 1\(y\) > 1の領域を比較しましょう。
図を重ねて見ると
\(x+y\) > 2、\(xy\) > 1 ならば、\(x\) > 1\(y\) > 1としたいが、
満たさない領域（青斜線部）がありますね。
例えば、\(x\)=2,\(y\)=0.6は
\(x+y\)=2.6 > 2、\(xy\)=1.2 > 1 ですが、\(x\) > 1\(y\) > 1ではないですね。
よって、「偽」となります。
(2)の解法
絶対値の不等式|\(x-1\)| <2を解きましょう。
●\(x-1\) ≥0のときは、 \(x-1\) <2 より \(x\) < 3
●\(x-1\) ≤0のときは、 -\(x-1\) <2 より\(x\) <-1
と絶対値を丁寧に外せば、-1 < \(x\) < 3と解けますね。
２次不等式も解きましょう。
\(x^2+2x-3\)=\((x+1)(x-3)\) <0
より、 -1 < \(x\) < 3と解けますね。
どちらの条件も-1 < \(x\) < 3ですから、「真」となります。
(3)の解法
\(x^2+ y^2\) > \(x+y\)を図で描きましょう。円になりますよね！
\(x^2-x+y^2-y\) >0
\((x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2 \) > \(\frac{1}{2}\)
を図で描くと
一方、\(x\) <0 または、 \(y\) <0ですが、上図の赤い領域をみると、\(x\) >0かつ、\(y\) >0の領域があるので、「偽」となります。反例は赤い領域にある１点を示せばＯＫです。
場合分けに慣れると一気に勝率が上がるし、
場合分けもパターンがあるので、慣れると簡単！
「図を描いて、条件式を作り、場合分けするスキル」は絶対に習得しましょう！ 一気に高校数学が得意になれます！
③全問題の解説は問題集にあります
「第１章 二次関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
二次関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第1章 二次関数
01-00 ２次関数の勉強の心得
01-01 ２次関数とそのグラフ
01-02 ２次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値を含む関数
01-07 絶対値を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件
01-09 含意命題と包含関係
01-10 必要条件・十分条件
問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「01-09_含意命題と包含関係がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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