01-10_必要条件と十分条件がわかる
「必要条件と十分条件が苦手！」と困っていませんか？
こういう期待に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
●図を描く！
●場合分けを丁寧に!
●同じ問題を何度も練習
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
決まったパターンを反復練習すれば偏差値80は超えます！
決まったパターンを反復練習していないから、できないんですよ！って何度も言っても、それでもやってくれないんです！ やったもん勝ちですよ！
①重要問題
問1
次の□に当てはまる文章を
①「必要十分条件である」
➁「必要条件であるが、十分条件ではない」
➂「十分条件であるが、必要条件ではない」
➃「必要条件でもなく、十分条件でもない」
から選べ。ただし、文字はすべて実数とする。
(1) \(x\) > 1 は\(x^2\) > 1であるための□。
(2) |\(x-3\)|+|\(x+1\)| ≤ 6であることは、\(x^2-2x-8\) ≤ 0であることの□。
(3) \(x\) > 1 かつ\(y\) > 1であるためには、 \(x+y\) >2 \(xy\) >1 であることの□。
(4)\(b\) < 0 は、\(x^2+ax+b\)=0を満たす実数\(x\)が存在するための□。
(5)\(b\) >0は、すべての実数\(x\)に対して、\(x^2+ax+b\) >0 となるための□。
問2
問１と同様に□に入る文章を①～➃から選べ。
(1) 整数\(n\)について、\(n\)が12の倍数であることは、\(n\)が12の倍数であることの□。
(2) 自然数\(m,n\)について、\(m\)と\(n\)がともに５の倍数であることは、\(m+n\)かつ\(mn\)がともに5の倍数であることの□
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1でおさえるべきポイント
問1でおさえるべきポイントは、
たしかに、反例となる\(x,y\)を１つ挙げればよいですが、図形で考えましょう。ただし、図形の「軌跡・領域」は高２数学の範囲なので、高１の方は理解できればOKです。
問1の解法
(1)の解法
\(x^2\) > 1を計算すると \(x\) < -1 ,1 < \(x\)ですよね。よって、
| 条件 | 判定 | 条件 |
| \(x\) > 1 | ○ → |
\(x\) < -1 ,1 < \(x\) |
| × ← |
より、「➂十分条件であるが、必要条件ではない」
(2)の解法
● |\(x-3\)|+|\(x+1\)| ≤ 6を計算しましょう。
丁寧に場合分けして絶対値を外しましょう。
(i) \(x\) ≤ -1のとき、
\(-(x-3)-(x+1)\) ≤ 6
\(-2x+2\)≤ 6 より \(x\) ≥ -2 まとめると、-2 ≤ \(x\) ≤ -1
(ii) -1 ≤\(x\) ≤ 3のとき、
\(-(x-3)+(x+1)\) ≤ 6
4 ≤ 6 より この区間の\(x\)はすべて満たす。まとめると、-1 ≤ \(x\) ≤ 3
(iii) 3 ≤ \(x\)のとき、
\((x-3)+(x+1)\) ≤ 6
\(2x-2\)≤ 6 より \(x\) ≥ 4 まとめると、3≤ \(x\) ≤ 4
全部まとめると、-2 ≤ \(x\) ≤ 4となりますね。
● \(x^2-2x-8\) ≤ 0を計算すると、-2 ≤ \(x\) ≤ 4となりますね。
つまり、両者とも同じ区間なので、
| 条件 | 判定 | 条件 |
| |\(x-3\)|+|\(x+1)\)| ≤ 6 | ○ → |
\(x^2-2x-8\) ≤ 0 |
| ○ ← |
より、「①必要十分条件である」
(3)の解法
\(x\) > 1 かつ\(y\) > 1と \(x+y\) >2 \(xy\) >1 の領域を下図に図示します。青い斜線部がはみ出ていますね。つまり、\(x+y\) >2 \(xy\) >1であるが、\(x\) > 1 かつ\(y\) > 1でない領域があります。よって、
| 条件 | 判定 | 条件 |
| \(x\) > 1 かつ\(y\) > 1 | ○ → |
\(x+y\) >2 \(xy\) >1 |
| × ← |
より、「➂十分条件であるが、必要条件ではない」
(4)の解法
確かに\(b\)が負なら、下図のように\(x\)の実数解は存在しますね。
一方、\(x^2+ax+b\)=0を満たす実数\(x\)が存在するには、
判別式D=\(a^2-4b\) ≥ 0の条件が必要です。ただし、\(a^2\) ≥ \(4b\) ならば、別に\(b\)が正でもOKですね。よって、
| 条件 | 判定 | 条件 |
| \(b\) < 0 | ○ → |
\(x^2+ax+b\)=0を満たす実数\(x\)が存在 |
| × ← |
より、「➂十分条件であるが、必要条件ではない」
(5)の解法
\(b\) >0だからといって、下図のように、\(x^2+ax+b\) <0の領域がありますよね。判別式Dが正の場合です。
逆にすべての実数\(x\)において、\(x^2+ax+b\) >0とするには、\(b\) >0は必要ですね。よって、
| 条件 | 判定 | 条件 |
| \(b\) >0 | × → |
\(x^2+ax+b\) >0 |
| ○ ← |
より、「➁必要条件であるが、十分条件ではない」
場合分けに慣れると一気に勝率が上がるし、
場合分けもパターンがあるので、慣れると簡単！
「図を描いて、条件式を作り、場合分けするスキル」は絶対に習得しましょう！ 一気に高校数学が得意になれます！
③全問題の解説は問題集にあります
「第１章 二次関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
二次関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第1章 二次関数
01-00 ２次関数の勉強の心得
01-01 ２次関数とそのグラフ
01-02 ２次関数の値域
01-03 2次方程式
01-04 2次不等式
01-05 2次方程式の解の存在範囲
01-06 絶対値を含む関数
01-07 絶対値を含む方程式・不等式
01-08 命題・条件
01-09 含意命題と包含関係
01-10 必要条件・十分条件
問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「01-10_必要条件と十分条件」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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