03-02 三角関数の基礎がわかる
「平面図形の基本定理がよくわからない」、などと困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
三角比と三角関数は
公式が多いけど、導出できるようになりましょう。
- ①重要問題
- ②重要問題を解説
- ③全問題の解説は問題集にあります
式変形問題に慣れましょう。
①重要問題
問1
(1) \(sin^2θ+cos^2θ\)=1を証明せよ。
(2) \(θ\)が90°の奇数倍でないとき、 1+\(tan^2θ\)=\(\frac{1}{cos^2θ}\)を示せ。
●問１の図
問2
(1) \(sinθ\)=\(\frac{1}{3}\)のとき、\(3cosθ-8tanθ\)の値を求めよ。
(2) \(tanθ\)=-3のとき、 \(2cosθ+sinθ\)の値を求めよ。
問3
(1) \(sinθ+cosθ\)=\(\frac{1}{3}\)のとき、\(\frac{cosθ}{1-sinθ}+\frac{sinθ}{1-cosθ}\)の値を求めよ。
(2) \(sinθ-cosθ\)=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)のとき、 \(tan^3θ+\frac{1}{tan^3θ}\)の値を求めよ。
問4
\(cosθ\) < 0, \(sinθ\) < 0のとき、\(\frac{θ}{3}\)は第何象限の角か。
②重要問題を解説
それ以外の問いは、「③全問題の解説は問題集にあります」をご覧ください。
問1でおさえるべきポイント
問1でおさえるべきポイントは、
でも、どうやって証明しますか？意外と難しい？
問1の解法
では、証明しましょう。公式の使い方より導出が大事です。
問(1)
三平方の定理から、ある直角三角形の各辺の長さをそれぞれ\(a,b,c\)とすると
\(a^2+b^2=c^2\)
が成り立つ。
両辺を、斜辺の長さ\(c^2\)で割ると、
\((\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2\)=1
となり、
\(sinθ\)=\(\frac{a}{c}\),\(cosθ\)=\(\frac{b}{c}\)
と置くと、
\(sin^2θ+cos^2θ\)=1
となる。
当たり前で、超基本な公式ですが、丁寧に導出できるようにしましょう。
問(2)
問(1)から
\(sin^2θ+cos^2θ\)=1
で両辺を\(cos^2θ\)で割ると
\(tan^2θ\)+1=\(\frac{1}{cos^2θ}\)
となる。
当たり前で、超基本な公式ですが、丁寧に導出できるようにしましょう。
問2でおさえるべきポイント
ここから公式を使って計算していきますが、もう１つ大事なのは、
公式を使って全部の値を計算できるようにしましょう。
問2の解法
問(1)
公式 \(sin^2θ+cos^2θ\)=1と \(tanθ\)=\(\frac{sinθ}{cosθ}\)から機械的に計算します。
●\(cosθ\)=±\(\sqrt{1-\frac{1}{3}}\)=±\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(tanθ\)=\(\frac{1/3}{±2\sqrt{2}/3}\)=±\(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
よって、
●\(3cosθ-8tanθ\)
=3×(±\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\))-8×(±\(\frac{1}{2\sqrt{2}}\))
=(±\(2\sqrt{2}\))-(±\(2\sqrt{2}\))
=0
となります。
問(2)
公式 \(tan^2θ\)+1=\(\frac{1}{cos^2θ}\)と \(tanθ\)=\(\frac{sinθ}{cosθ}\)から機械的に計算します。
●\(\frac{1}{cosθ}\)=±\(\sqrt{(-3)^2+1}\)=±\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
●\(sinθ\)=\(cosθ tanθ\)=±\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)×(-3)
=∓\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
よって、
●\(2cosθ+sinθ\)
=±\(\frac{2}{\sqrt{10}}\)∓\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
=±\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
問3でおさえるべきポイント
ここから公式を使って計算していきますが、もう１つ大事なのは、
公式を使って全部の値を計算できるようにしましょう。
問3の解法
問3
問(1)
●\(\frac{cosθ}{1-sinθ}+\frac{sinθ}{1-cosθ}\)を変形します。
\(\frac{cosθ}{1-sinθ}+\frac{sinθ}{1-cosθ}\)
=\(\frac{cosθ(1-cosθ)+sinθ(1-sinθ)}{(1-sinθ)(1-cosθ)}\)
=\(\frac{(sinθ+cosθ)-1}{1-(sinθ+cosθ)+sinθcosθ}\)
=(式1)
●ここで、条件式) \(sinθ+cosθ\)=\(\frac{1}{3}\)を２乗して、\( sinθcosθ\)を求めてます。
\((sinθ+cosθ)^2\)=1+2\(sinθcosθ\)=\(\frac{1}{9}\)
\(sinθcosθ\)=\(\frac{4}{9}\)
よって、(式1)は
(式1)
=\(\frac{(sinθ+cosθ)-1}{1-(sinθ+cosθ)+sinθcosθ}\)
=\(\frac{\frac{1}{3}-1}{1-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}}\)
=-\(\frac{3}{5}\)
問(2)
\(tan^3θ+\frac{1}{tan^3θ}\)を因数分解します。
\(tan^3θ+\frac{1}{tan^3θ}\)=\((tanθ+\frac{1}{tanθ})(tan^2θ-1+\frac{1}{tan^2θ})\)
=\((tanθ+\frac{1}{tanθ})((tanθ+\frac{1}{tanθ})^2-3)\)
=(式1)
ここで(式1)の\( tanθ+\frac{1}{tanθ}\)を計算すると
\( tanθ+\frac{1}{tanθ}\)
=\(\frac{sinθ}{cosθ}+\frac{cosθ}{sinθ}\)
=\(\frac{sin^2θ+cos^2θ}{sinθcosθ}\)
=\(\frac{1}{sinθcosθ}\)
=(式2)
また、条件式\(sinθ-cosθ\)=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)を２乗すると、
\(( sinθ-cosθ)^2\)=\(\frac{1}{2}\)
1-2\(sinθcosθ\)=\(\frac{1}{2}\)
\(sinθcosθ\)=\(\frac{1}{4}\)
=(式3)
(式2),(式3)を(式1)に代入すると、
(式1)= \((tanθ+\frac{1}{tanθ})((tanθ+\frac{1}{tanθ})^2-3)\)
=\(\frac{1}{sinθcosθ} ((\frac{1}{sinθcosθ})^2-3)\)
=4×(4^2-3)
=52
③全問題の解説は問題集にあります
「第３章 三角関数」で、大学受験も大学以降でも習得すべき、
三角比と三角関数の重要問題を解説しています。
目次を紹介します。
第３章 三角関数
03-01 平面図形の基本定理
03-02 三角関数
03-03 正弦定理と余弦定理
03-04 三角比と面積
03-05 三角関数の加法定理
03-06 三角関数の値域
03-07 三角方程式と三角不等式
03-08 三角関数と図形
問題集はメルカリでご購入いただけます。
(現在問題集作成中。)
問題集イメージ図(予定)
是非、ブログを参考にいただき、ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
「03-02 三角関数の基礎がわかる」を解説しました。
- ①おさえるべき重要問題
- ②解法
- ③全問題の解説は問題集にあります
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