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分割法(3因子1段分割)の分散分析・区間推定が解ける【必見】

実験計画法

「分割法って何なの?」、「分割法の分散分析や期待値の導出がわからない、解けない」、「分散分析表から調べたい効果の区間推定の導出方法がわからない」など、分割法の分散分析の解法がわからず、期待値の式など暗記で片付けていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

分割法の分散分析や期待値の導出ができる

分割法の分散分析や期待値の導出

  • ➀分割法とは何かがわかる
  • ②分割法のデータの構造式が書ける
  • ③平方和の分解の式が書ける
  • ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
  • ⑤分散分析ができる
  • ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。実験計画法の肝なので、必読です!

➀分割法とは何かがわかる

教科書の定義は重要ではない

全条件をランダムに実験できない場合、実験を複数に分けて、その分けた中でランダムにする方法が分割法である。

よくわかりませんよね。

でも、心配は不要です。

データの構造式から分割法を理解する

  1. 完全配置実験のデータの構造式を作る
  2. 一部の項を変形すれば分割法になる

●You tube動画もご確認ください。

②分割法のデータの構造式が書ける

データの構造式

1段分割が2因子、2段分割が1因子から構成する3因子の分割法で、3因子の交互作用を見るために、添字がijklと4種類ある場合を考えます。

四元配置実験のデータの構造式

xijkl=μ+αijk+δl
+ (αβ) ij+(αγ) ik+ (αδ)il
+(βγ) jk+(βδ) jl+(γδ)kl

+(αβγ) ijk+ (αβδ) ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+ eijkl

(αβ) ij
= e(1)ij
と、
δl
+(αδ)il
+(βγ) jk+(βδ) jl+(γδ)kl
+(αβδ) ijl+(αγδ)ikl+(βγδ)jkl
+ eijkl

= e(2)ijkl
とすれば、分割法に変えることができます。

応用として、δを残差にプーリングして変形しました。

各平均値をデータの構造式で作る

母数因子と変量因子の違い

関連記事にて、母数因子と変量因子を解説しました。

母数因子と変量因子

母数因数:α、β、γ、αγ、αβγ
変量因子:e(1)、e(2)

平均値

母数因数の平均は0。
変量因子の平均は0ではない。

平均値を式にする場合、添字のない文字項はすべて0にしますが、変量因子の場合は平均値をいれます。

平均値の式の代表例

データの構造式

xijkl=μ+αij+e(1)ijk+(αγ) ik+(αβγ)ijk+ e(2)ijkl

\(\bar{x_{ijk・}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(e_{(1)ij}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\((αβγ)_{ijk}\)+\(\bar{e_{(2)ijk・}}\)
\(\bar{x_{ij・・}}\)=μ+\(α_i\)+\(β_j\)+\(e_{(1)ij}\)+\(\bar{e_{(2)ij・・}}\)
\(\bar{x_{i・k・}}\)=μ+\(α_i\)+\(e_{(1)i・}\)+\(γ_k\)+\((αγ)_{ik}\)+\(\bar{e_{(2)i・k・}}\)
\(\bar{x_{・jk・}}\)=μ+\(β_j\)+\(e_{(1)・j}\)+\(\bar{e_{(2)・jk・}}\)
\(\bar{x_{i・・・}}\)=μ+\(α_i\)+\(e_{(1)i・}\)+\(\bar{e_{(2)i・・・}}\)
\(\bar{x_{・j・・}}\)=μ+\(β_j\)+\(e_{(1)・j}\)+\(\bar{e_{(2)・j・・}}\)
\(\bar{x_{・・k・}}\)=μ+\(γ_k\)+\(\bar{e_{(2)・・k・}}\)
\(\bar{\bar{x}}\)=μ+\(\bar{\bar{e}}\)

③分割法の平方和の分解の式が書ける

データの構造式を変形

式を書くと見づらいので、表にまとめます。分散分析はデータの構造式が複雑になると表で整理するのがオススメです

SA SB Se(1) SC SA×C SA×B×C Se(2) ST (計)
\(x_{ijkl}\) 1 1
\(\bar{x_{i・・・}}\) 1 -1 -1 1 0
\(\bar{x_{・j・・}}\) 1 -1 1 -1 0
\(\bar{x_{・・k・}}\) 1 -1 1 -1 0
\(\bar{x_{・・・l}}\) 0
\(\bar{x_{ij・・}}\) 1 -1 0
\(\bar{x_{i・k・}}\) 1 -1 0
\(\bar{x_{i・・l}}\) 0
\(\bar{x_{・jk・}}\) -1 1 0
\(\bar{x_{・j・l}}\) 0
\(\bar{x_{・・kl}}\) 0
\(\bar{x_{ijk・}}\) 1 -1 0
\(\bar{x_{ij・l}}\) 0
\(\bar{x_{i・kl}}\) 0
\(\bar{x_{・jkl}}\) 0
\(\bar{\bar{x}}\) -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

表から各平方和の導出式が簡単にでますね。SA、SA×C、Se(2)を例に挙げます。

\(S_A\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\( (\bar{x_{i・‥}}-\bar{\bar{x}})^2\)

\(S_{A×C}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i・k・}}-\bar{x_{i‥・}}-\bar{x_{・・k・}}+\bar{\bar{x}})^2\)

\( S_{e(2)}\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ijkl}-\bar{x_{ijk・}}-\bar{x_{・j‥}}\)
\(-\bar{x_{‥k・}}+\bar{x_{・jk・}}+\bar{\bar{x}})^2\)

と書けますね。他の平方和も同様にΣΣΣ( )^2で計算できます。

④分割法の主効果・交互作用・誤差の期待値が導出できる

期待値については、関連記事をご覧下さい。

主効果の分散の期待値の導出

E[\(S_A\)]=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} (\bar{x_{i…}}-\bar{\bar{x}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} (α_i+\bar{e_{(1)i・}}+\bar{e_{(2)i…}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} (α_i )^2\)]
+E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d} (\bar{e_{(1)i・}}+\bar{e_{(2)i…}}-\bar{\bar{e}})^2\)]

=\(bcd(a-1)σ_A^2\) +\((a-1)(cdσ_{e(1)}^2+σ_{e(2)}^2\))

主効果Aの自由度は(a-1)より、分散の期待値E[VA]が求まります。

E[\(V_A\)]=\(bcdσ_A^2\) +\((cdσ_{e(1)}^2+σ_{e(2)}^2\))

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_A^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}α_i^2}{a-1}\)]

\(σ_e^2\)については解説集にあります。

交互作用の分散の期待値の導出

E[\(S_{A×C}\)]
=E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{x_{i・k・}}-\bar{x_{i…}}-\bar{x_{‥k・}}+\bar{\bar{x}})^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}+(\bar{e_{(2)i・k・}}-\bar{e_{(2)i…}}-\bar{e_{(2)‥k・}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

= E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\(((αγ)_{ik}^2)\)
+ E[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)
\((\bar{e_{(2)i・k・}}-\bar{e_{(2)i…}}-\bar{e_{(2)‥k・}}+\bar{\bar{e}}))^2\)]

第1項:
bdE[\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)
\(((αγ)_{ik})^2]\)
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)

第2項:
=\((a-1)(c-1)σ_{e(2)}^2\)

E[\(S_{A×C}\)]
=\(bd(a-1)(c-1)σ_{A×C}^2\)+\((a-1)(c-1)σ_{e(2)}^2\)

交互作用A×Cの自由度は(a-1)(c-1)より、分散の期待値E[VA×C]が求まります。

E[\(V_{A×C}\)]=\(bdσ_{A×C}^2\)+\(σ_{e(2)}^2\)

なお、分散の期待値を以下とします。

\( σ_{A×C}^2\)=E[\(\frac{\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}(αγ)_{ik}^2}{(a-1)(c-1)}\)]

\(σ_{e(2)}^2\)については解説集にあります。

残差の分散の期待値の導出

\( S_{e(2)}\)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{d}\)

\((x_{ijkl}-\bar{x_{ijk・}}-\bar{x_{・j‥}}\)
\(-\bar{x_{‥k・}}+\bar{x_{・jk・}}+\bar{\bar{x}})^2\)

E[\(S_{e2}\)]=\(abc(d-1)+(b-1)(c-1)σ_{e(2)}^2\)

(全計算過程は解説集にあります)

残差e(2)の自由度はabc(d-1)+(b-1)(c-1)より、分散の期待値E[V e(2)]が求まります。自由度の計算結果は次の節で紹介します。

E[\(e_{(2)}\)]=\(σ_{e(2)}^2\)

⑤分割法の分散分析ができる

自由度の計算

各主効果・交互作用の自由度の計算は簡単です。関連記事に解説しています。まとめると次の3つです。

  1. データの構造式を書く
  2. 主効果・交互作用の構造式にある添字から自由度を算出
  3. 自由度は表を活用すると簡単に求まる

自由度をまとめます。

a b c ab ac bc abc abcd 1
A 1 -1
B 1 -1
C 1 -1
e(1) -1 -1 1 1
AC -1 -1 1 1
ABC 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
e(2) -1 -1 1 -1 1 1
T 1 -1

分散分析の結果

分散分析表を作ります。

φ E[V]
A a-1 cd\(σ_{e(1)}^2+σ_{e(2)}^2+bcdσ_A^2\)
B b-1 cd\(σ_{e(1)}^2+σ_{e(2)}^2+acdσ_B^2\)
e(1) (a-1)(b-1) cd\(σ_{e(1)}^2+σ_{e(2)}^2\)
C c-1 abd\(σ_C^2+σ_{e(2)}^2\)
A×C (a-1)(c-1) bd\(σ_{A×C}^2+σ_{e(2)}^2\)
A×B×C (a-1)(b-1)(c-1) d\(σ_{A×B×C}^2+σ_{e(2)}^2\)
e(2) abc(d-1)+(b-1)(c-1) \(σ_{e(2)}^2\)
T abcd-1

⑥分割法の主効果・交互作用の区間推定が導出できる

母平均の点推定の導出方法

有効繰返し数と区間推定の導出方法

区間推定は、下の式で算出します。

$$ \bar{μ}±t(φ_e,α)\sqrt{\frac{V_e}{n_e}}$$

区間推定のポイント

  1. ルートの中は、誤差eの分散から個数を割ったものが入る
  2. 誤差eの自由度φeである。
  3. Veが複数項である場合、サタースウェイトの式から自由度を導出

サタースウェイトの式については、ここを見てください。

主効果の点推定と区間推定の導出

分散の期待値から分散の推定値を導出

分散分析から、R,e(1)とe(2)の分散の推定値E[V]を導出します。

V
e(1) Ve(1)=\(cd\widehat{σ_{e(1)}^2}+\widehat{σ_{e(2)}}^2\)
e(2) Ve(2)=\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)

上の表から、分散の推定値を求めます。
\(\widehat{σ_{e(1)}^2}=\frac{1}{cd}(V_{e(1)}-V_{e(2)})\)
\(\widehat{σ_{e(2)}^2}\)=Ve(2)

主効果の点推定と区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(B_j)=\bar{x_{・j‥}}\)=\(\widehat{μ+β_j}\)
=\(μ+β_j +\bar{e_{(1)・j}}+\bar{e_{(2)・j‥}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(B_j))\)
=V[μ+β_j +\bar{e_{(1)・j}}+\bar{e_{(2)・j‥}}\]]
=V[\(\bar{e_{(1)・j}}\)]+V[\(\bar{e_{(2)・j‥}}\)]
=\(\frac{\widehat{σ_{e(1)}^2}}{a}+\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{acd}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

交互作用の区間推定

点推定: \(\widehat{μ}(A_i B_j C_k)\)=\(\bar{x_{ijk・}}\)
=\(μ+α_i+β_j+e_{(1)ij}+γ_k+(αγ)_{ik}\)+\((αβγ)_{ijk}+\bar{e_{(2)ijk・}}\)

分散:\(\widehat{Var}(\widehat{μ}(A_i B_j C_k))\)
=V[μ+α_i+β_j+e_{(1)ij}}+γ_k+(αγ)_{ik}+(αβγ)_{ijk}+\bar{e_{(2)ijk・}}\)]
=V[\(e_{(1)ij}\)]+V[\(\bar{e_{(2)ijk・}}\)]
=\(\widehat{σ_{e(1)}^2}\)+\(\frac{\widehat{σ_{e(2)}^2}}{d}\)

Veが求まったので、自由度φと、点推定μを代入すれば推定区間が求まります。

一連の導出過程を解説しました。

⑦分割法の分散分析を導出できる演習問題

本記事で扱ったデータの構造式において、以下の演習問題を解いてみましょう。詳細は解説集にあります。

【問】3因子交互作用を含む2段分割法について、次のデータの構造式を考える。
xijkl=μ+αij+e(1)ijk+(αγ) ik+(αβγ)ijk+ e(2)ijkl
因子A,B,Cの自由度はそれぞれa,b,cとする。
(1)主効果A,B,C、交互作用A×C,A×B×C,残差e(1),e(2)の自由度と分散の期待値を導出せよ。
(2) 主効果A,B,交互作用A×Bの点推定と区間推定を計算せよ。
(詳細は解説集にあります。)

まとめ

分割法の分散分析の導出過程を詳細に解説しました。

  • ➀分割法とは何かがわかる
  • ②分割法のデータの構造式が書ける
  • ③平方和の分解の式が書ける
  • ④主効果・交互作用・誤差の分散の期待値が導出できる
  • ⑤分散分析ができる
  • ⑥主効果・交互作用の区間推定が導出できる
  • ⑦期待値、分散分析や区間推定の演習問題


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