2021/09/16 (更新日: 2023/12/08)

直交表の列をランダムに割当てても分散分析は変わらない

実験計画法

「直交表の列への割当て方は決まっているの？」、「直交表の列をランダムに割当てても大丈夫なの？」など、直交表の列の割当て方について疑問に思いませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

直交表の列をランダムに割当てても分散分析は変わらない

➀直交表の列の成分をシャッフルしてもOK
②直交表の列の成分と異なる効果を割当ててもOK

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。実験計画法を学ぶ中で、気になるし、試して確認したいけど、解けないもやもやを解説していきます。

本記事ではわかりやすくするために、直交表L₈(2^{7)を使って説明します。}

➀直交表の列の成分をシャッフルしてもOK

直交表の列成分に合わせて割当てるのが基本

直交表L₈(2^{7)の各成分は、基本的に下表のようになっており、成分に合わせて因子(主効果、交互作用、残差)を割り当てます。}

直交表L₈(2⁷⁾

L8	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	データ	順番
1	1	1	1	1	1	1	1	10	➀
2	1	1	1	2	2	2	2	15	②
3	1	2	2	1	1	2	2	14	③
4	1	2	2	2	2	1	1	23	④
5	2	1	2	1	2	1	2	17	⑤
6	2	1	2	2	1	2	1	12	⑥
7	2	2	1	1	2	2	1	13	⑦
8	2	2	1	2	1	1	2	16	⑧
成分	a		a		a		a	–	–
		b	b			b	b	–	–
				c	c	c	c	–	–
割当て	A	B	A×B	C	A×C	B×C	e	–	–
1の総和	62	54	54	54	52	66	58	–	–
2の総和	58	66	66	66	68	54	62	計	–
平方和	2	18	18	18	32	18	2	108	–

平方和=[(1の総和)-(2の総和)]²/(データ数=8)より算出

直交表の列成分をシャッフルする

元の列の割当てをシャッフルします。

L8	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
割当て	A	B	A×B	C	A×C	B×C	e

シャッフル後

L8	[5]	[3]	[4]	[6]	[7]	[2]	[1]
割当て	A×C	A×B	C	B×C	e	B	A

シャッフル後の直交表を作って分散分析します。

L8	[5]	[3]	[4]	[6]	[7]	[2]	[1]	データ	順番
1	1	1	1	1	1	1	1	10	➀
2	2	1	2	2	2	1	1	15	②
3	1	2	1	2	2	2	1	14	③
4	2	2	2	1	1	2	1	23	④
5	2	2	1	1	2	1	2	17	⑤
6	1	2	2	2	1	1	2	12	⑥
7	2	1	1	2	1	2	2	13	⑦
8	1	1	2	1	2	2	2	16	⑧
成分	a	a			a		a	–	–
		b		b	b	b		–	–
	c		c	c	c			–	–
割当て	A×C	A×B	C	B×C	e	B	A	–	–
1の総和	52	54	54	66	58	54	62	–	–
2の総和	68	66	66	54	62	66	58	計	–
平方和	32	18	18	18	2	18	2	108	–

シャッフルしても直交表のデータの順番は変わりません。
列をシャッフルしただけなので、各効果の平方和も変わりません。
よってシャッフル前後で分散分析の結果は変化しません。

列番1は成分aですが、成分aはどの列に配置してもOKです。教科書はaを１列に配置した方がわかりやすいから1列目に配置しているだけです。

②直交表の列の成分と異なる効果を割当ててもOK

➀は列ごとシャッフルしただけなので、平方和、分散分析の結果は変わるはずが無いとすぐわかります。でも、本当かどうか確かめてみました。

次に、直交表の列の成分はそのままで、あえて異なる因子を配置したら分散分析の結果は変わるのかを確認します。結論は、変わりませんですが、なぜかを実際やってみましょう。

直交表L8の第5,6,7列にあえて、因子B,A,Cの主効果を配置します。
第1~4列は何が入るかわかりますか？

L8	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
成分	a		a		a		a
		b	b			b	b
				c	c	c	c
割当て	A	B	A×B	C	A×C	B×C	e
↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓
割当て	??	??	??	??	B	A	C

交互作用A×B→(bc)×(ac)=(abc²)=(ab)より第3列
交互作用A×C→(bc)×(abc)=(ab²c²)=(a)より第1列
交互作用B×C→(ac)×(abc)=(a²bc²)=(b)より第2列
残差e(交互作用A×B×C)→(bc)×(ac) ×(abc)=( a² b² c³)=(c)より第4列
に割当てられます。
成分は積で表現したり、和の余りで表現することがあります。
詳しくは、関連記事【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】をご覧下さい。

割当て列をまとめます。

L8	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]
成分	a		a		a		a
		b	b			b	b
				c	c	c	c
割当て	A	B	A×B	C	A×C	B×C	e
↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓	↓
割当て	A×C	B×C	A×B	e	B	A	C

各データを直交表にいれて、平方和を算出します。

L8	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]	[7]	データ	順番
1	1	1	1	1	1	1	1	10	➀
2	1	1	1	2	2	2	2	16	⑧
3	1	2	2	1	1	2	2	12	⑥
4	1	2	2	2	2	1	1	14	③
5	2	1	2	1	2	1	2	23	④
6	2	1	2	2	1	2	1	17	⑤
7	2	2	1	1	2	2	1	13	⑦
8	2	2	1	2	1	1	2	15	②
成分	a		a		a		a	–	–
		b	b			b	b	–	–
				c	c	c	c	–	–
割当て	A×C	B×C	A×B	e	B	A	C	–	–
1の総和	52	66	54	58	54	62	54	–	–
2の総和	68	54	66	62	66	58	66	計	–
平方和	32	18	18	2	18	2	18	108	–

上の表の黄色枠を見ましょう。列も変わったが　各行のデータ値も列の各成分に合わせて順番が変わったことがわかります。その結果、各効果の平方和は変化していません。

よって分散分析の結果も変化しません。

まとめ

直交表の列をランダムに割当てても分散分析は変わらない理由を解説しました。

➀直交表の列の成分をシャッフルしてもOK
②直交表の列の成分と異なる効果を割当ててもOK

実験計画法