偏回帰係数に関する検定と推定がよくわかる
「偏回帰係数に関する検定と推定がわからない！」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
おさえておきたいポイント
- ①偏回帰係数に関する検定と推定の式を導出
- ➁検定・推定を解くための例題
- ➂偏回帰係数に関する検定の例題
- ➃偏回帰係数に関する推定の例題
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では、解説します。
①偏回帰係数に関する検定と推定の式を導出
偏回帰係数の期待値と分散を導出
偏回帰係数の期待値と分散が本記事のキーポイントとなりますが、結構難しいです。関連記事で詳細に解説していますので、確認しましょう。
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重回帰分析の推定区間の式が導出できる(その１） 重回帰分析の推定区間の式は導出できますか？公式代入だけで終わっていませんか？ 本記事では２記事にわたり、重回帰分析の推定区間の式が導出をわかりやすく解説します。多変量解析を学ぶ人は必読です。 |
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重回帰分析の推定区間の式が導出できる(その2） 重回帰分析の推定区間の式は導出できますか？公式代入だけで終わっていませんか？ 本記事では２記事にわたり、重回帰分析の推定区間の式が導出をわかりやすく解説します。本記事は「その２」です。多変量解析を学ぶ人は必読です。 |
偏回帰係数の期待値と分散
●V[\(β_j\)]=\(σ^2\)\(S^{jj}\)
偏回帰係数に関する検定の式を導出
ｔ分布（正規分布でもいいと思いますけど）で検定するために、
\(z=\frac{x-\bar{x}}{σ}\)な式を作ります。
(分子)は偏回帰係数に関する検定なので、
●(分子)=\(β_i-β_{i0}\) (\(β_{i0}\)は検定で使う値)
分母は分散を使うので、
●V[\(β_j\)]=\(σ^2\)\(S^{jj}\)
ですが、\(σ^2\)は未知なので代わりに\(V_e\)を使って
●V[\(β_j\)]=\( V_e \)\(S^{jj}\)
を使うと、
検定統計量(t分布)は
\(t\)=\(\frac{β_i-β_{i0}}{ \sqrt{V_e S^{jj}}}\)
を使って、検定します。
\(t\)=\(\frac{β_i-β_{i0}}{ \sqrt{V_e S^{jj}}}\)
偏回帰係数に関する推定の式を導出
検定統計量の式が出来たらあとは、t分布の推定区間を求める式を作ればいいので、
\(β\)±\(t(Φ,α)\sqrt{ V_e S^{jj} }\)
の式となりますよね。
\(β\)±\(t(Φ,α)\sqrt{ V_e S^{jj} }\)
➁検定・推定を解くための例題
データを用意
下表のような説明変数が2つのデータを用意します。
| x1 | x2 | y |
| 8 | 3 | 3 |
| 11 | 2 | 4 |
| 9 | 4 | 4 |
| 12 | 4 | 7 |
| 11 | 5 | 7 |
| 9 | 6 | 5 |
重回帰分析しよう！
上の表を重回帰分析して、下表の各値を求めよ。
| 変数 | 値 | 変数 | 値 |
| \(S_{11}\)= | ?? | \(S^{11}\)= | ?? |
| \(S_{12}\)= | ?? | \(S^{12}\)= | ?? |
| \(S_{22}\)= | ?? | \(S^{22}\)= | ?? |
| \(S_{1y}\)= | ?? | \(β_0\)= | ?? |
| \(S_{2y}\)= | ?? | \(β_1\)= | ?? |
| \(S_{yy}\)= | ?? | \(β_2\)= | ?? |
| \(S_R\)= | ?? | \(V_R\)= | ?? |
| \(S_e\)= | ?? | \(V_e\)= | ?? |
| \(S_T\)= | ?? | – | – |
さっと計算できますか？ \(S^{ij}\)は\(S_{ij}\)の逆行列の各成分です。
重回帰分析の結果
答えは下表です。
| 変数 | 値 | 変数 | 値 |
| \(S_{11}\)= | 12 | \(S^{11}\)= | 0.084(\(\frac{10}{119}\)) |
| \(S_{12}\)= | -1 | \(S^{12}\)= | 0.0084(\(\frac{1}{119}\)) |
| \(S_{22}\)= | 10 | \(S^{22}\)= | 0.1008(\(\frac{11}{119}\)) |
| \(S_{1y}\)= | 10 | \(β_0\)= | -6.664 |
| \(S_{2y}\)= | 6 | \(β_1\)= | 0.891 |
| \(S_{yy}\)= | 14 | \(β_2\)= | 0.689 |
| \(S_R\)= | 8.33 | \(V_R\)= | 4.165 |
| \(S_e\)= | 5.67 | \(V_e\)= | 1.89 |
| \(S_T\)= | 14 | – | – |
さて、検定と推定をやってみましょう。
➂偏回帰係数に関する検定の例題
例題
偏回帰係数が２つあるので、それぞれ検定しましょう。
問1 偏回帰係数\(β_1\)が１から変化したかどうかを有意水準α=5%で検定せよ。
問2 偏回帰係数\(β_2\)が0から変化したかどうかを有意水準α=5%で検定せよ。
解法
公式を再掲します。
\(t\)=\(\frac{β_i-β_{i0}}{ \sqrt{V_e S^{jj}}}\)
問1
検定統計量の式に値を代入します。
\(t_1\)=\(\frac{β_1-β_{10}}{ \sqrt{V_e S^{11}}}\)
=\(\frac{0.891-1}{\sqrt{ 1.89 × 0.084}}\)
=-0.274
棄却域(両側検定とします)は
t(\(Φ_e\),α)=t(3,0.05)=3.182
|\(t_1\)|=0.274 < 3.182
より、仮説は棄却されず、
偏回帰係数\(β_1\)が１から変化したとはいえない。
となります。
問2
検定統計量の式に値を代入します。
\(t_2\)=\(\frac{β_2-β_{20}}{ \sqrt{V_e S^{22}}}\)
=\(\frac{0.689-0}{ \sqrt{1.89 × 0.1008}}\)
=1.580
棄却域(両側検定とします)は
t(\(Φ_e\),α)=t(3,0.05)=3.182
|\(t_2\)|=1.580 < 3.182
より、仮説は棄却され、
偏回帰係数\(β_2\)が１から変化したとはいえない。
となります。
➃偏回帰係数に関する推定の例題
例題
偏回帰係数が２つあるので、それぞれ検定しましょう。
問1 偏回帰係数\(β_1\)の95%の区間推定を求めよ。
問2 偏回帰係数\(β_2\)の95%の区間推定を求めよ。
解法
公式を再掲します。
\(β\)±\(t(Φ,α)\sqrt{ V_e S^{jj} }\)
問1
推定区間の式に値を代入します。
\(β_1\)±\(t(Φ_e(=3),α(=0.05))\sqrt{ V_e S^{11} }\)
=0.891±3.182×\(\sqrt{1.89×0.084}\)
=0.891±1.268
となります。
問2
推定区間の式に値を代入します。
\(β_2\)±\(t(Φ_e(=3),α(=0.05))\sqrt{ V_e S^{22} }\)
=0.689±3.182×\(\sqrt{1.89×0.1008}\)
=0.689±1.389
となります。
できましたね。単なる公式の代入になりがちですが、関連記事を活用して公式の導出も理解しましょう。
まとめ
「偏回帰係数に関する検定と推定がよくわかる」を解説しました。
- ①偏回帰係数に関する検定と推定の式を導出
- ➁検定・推定を解くための例題
- ➂偏回帰係数に関する検定の例題
- ➃偏回帰係数に関する推定の例題
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