月: 2023年7月

「二項分布の期待値と分散が解けない」などと困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

おさえておきたいポイント

• ①分散の加法性でおさえるべきポイント
• ➁分散の加法性の演習問題

①分散の加法性でおさえるべきポイント

分散の加法性は展開できること

まず、

簡単なので、導出しましょう。自分で意味を理解することが大事です。

自力で導出

\(V(X+Y)\)=\(E((X_i-\bar{X})+(Y_i-\bar{Y}))^2\)は、分散の定義どおりですね。これを展開すると
\(E((X_i-\bar{X})+(Y_i-\bar{Y}))^2\)=\(E((X_i-\bar{X})^2\)+2\(E((X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}))\)+\(E((Y_i-\bar{Y}))^2\)
=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y)

ここで、
●V(X)= \(E((X_i-\bar{X})^2\)
●Cov(X,Y)= \(E((X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}))\)
●V(Y)= \(E((Y_i-\bar{Y}))^2\)

ちゃんと練習しておきましょう。

X,Yが独立なら、Covは無視(QC検定®２級レベル)

ＱＣ検定®２級では、よく、　

と書いていますが、これは、「共分散Covは考えなくていいというサイン」です。

大事なポイント

変数XにYを増減する場合の期待値と分散の±の動きに注目です。

と、

理由はわかりますか？　理由が分かる方が、正しく計算できるより大事です。

ですね。

自力で導出できれば公式暗記は不要になりますよね！

X,Yに相関性あれば、Covも使う(QC検定®1級レベル)

ＱＣ検定®1級レベルになると、共分散が出て来ますね。
V(X+Y)=V(X)+2Cov(X,Y)+V(Y)
は理解できたとしても、１つ疑問が出ます。

ですね。

これはほとんどの場合、相関係数ρからCovを計算する流れになります。

相関係数ρを問題文に与えれば、V(X),V(Y)がわかれば共分散は計算できますね。

➁分散の加法性の演習問題

問題

では①で解説したポイントを踏まえて問題を解きましょう。

(1)(2)は共分散Covの無い場合、(3)は共分散Covを考える場合ですね。

解説

問(1)
●母平均：80.0(=20.0+30.0×2)
●母標準偏差：0.934(=√(〖0.4〗^2+〖0.6〗^2+〖0.6〗^2 ))
これは分散の加法性の基本ですね。

問(2)
答え：0.0332
●上限：u=(82-80)/0.934=2.14 Kp=2.14の時の確率P=0.0162
●下限：u=(80-78)/0.934=2.14 Kp=2.14の時の確率P=0.0162
より、 0.0162×2=0.0332
ここまではQC検定®２級レベルですね。

問3①
●Cov(y1,y2)=ρ(y1,y2)×√(V_y1 V_y2 )=-0.2×0.36=-0.072
公式どおり代入しましょう。

問3➁
●母平均：80.0
●母標準偏差：0.858

V(y1+y2)=V(y1)+V(y2)+2Cov(y1,y2)=0.62+0.62+2･1･1･(-0.072)=0.576
V(z+y1+y2)=0.16+0.576=0.736 s=√V(z+y1+y2)=0.858
共分散も考慮した計算結果になっていますね。

問３➂
答え：0.0198
u=(82-80)/0.858=2.33 Kp=2.33の確率P=0.0099 0.0099×2=0.198
となります。

いかがでしょうか。分散の加法性の解き方を解説しました！　苦手な所があれば何度も読み返してマスターしましょう！QCの初心者を悩ます内容ですが、この計算をモノにしましょう！

いろいろな問題が出ますが、エッセンスは本記事の内容です。ここを抑えれば大丈夫！

まとめ

「【初心者必見！】分散の加法性を使った問題が解ける」を解説しました。

• ①分散の加法性でおさえるべきポイント
• ➁分散の加法性の演習問題

基本統計量