2段サンプリングの費用関数で最適配分の式が導出できる
「2段サンプリングの費用関数で最適配分の式の求め方がわからない」、と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①2段サンプリングの費用関数
- ➁最適配分の式を導出
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\(C=c_0+c_1m+c_2m\bar{n}\)
としたとき、
\(\bar{n}^2\)=\(\frac{c_1}{c_2} \frac{σ_w^2}{σ_b^2}\)
を使って計算しますが、
\(\bar{n}^2\)=\(\frac{c_1}{c_2} \frac{σ_w^2}{σ_b^2}\)
が出て来るの？
を解説します！
①2段サンプリングの費用関数
費用関数をよく次のように定義します。
\(C=c_0+c_1m+c_2m\bar{n}\)
●\(c_0\)：初期コスト
●\(c_1\)：１次サンプルの費用
●\(m\)：1次サンプルの大きさ
●\(c_2\)：2次サンプルの費用
●\(\bar{n}\)：2次サンプルの大きさ
と定義します。
確かに、１次サンプルしてから、２次サンプルしますから、費用は加算されていくイメージですね。
➁最適配分の式を導出
最適配分
最適配分の式は、
\(\bar{n}^2\)=\(\frac{c_1}{c_2} \frac{σ_w^2}{σ_b^2}\)
最適配分の式を導出
上の式をよく使いますが、導出します。
導出過程は、
- 費用関数の式を変形する
- ２段サンプリングの標本平均の分散\(σ_{\bar{\bar{x}}}^2\)を定義する
- 標本平均の分散を\(\bar{n}\)の変数として偏微分=0の条件を作る
で解いていきます。
(i)費用関数の式を変形する
費用関数
\(C=c_0+c_1m+c_2m\bar{n}\)
を\(m\)の式に直します。
\(m\)=\(\frac{C-c_0}{c_1+c_2 \bar{n}}\)=(式1)
(ii)標本平均の分散
２段サンプリングの標本平均の分散を有限集団近似せずに次の式のようにおきます。計算がシンプルになるためです。
\(σ_{\bar{\bar{x}}}^2\)=\(\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{σ_w^2}{n}\)
とします。なお、\(n\)=\(m\bar{n}\)の関係から
\(σ_{\bar{\bar{x}}}^2\)=\(\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{σ_w^2}{ m\bar{n}}\)=(式2)
(式2)に(式1)を代入します。
(式2)
=\(σ_{\bar{\bar{x}}}^2\)=\(\frac{c_1+c_2 \bar{n}}{C-c_0}\)+\(\frac{c_1+c_2 \bar{n}}{ C-c_0} \frac{1}{\bar{n}} σ_w^2\)
=\((\frac{c_1}{C-c_0}σ_b^2+\frac{c_2}{C-c_0}σ_w^2)\)+\(\frac{c_2 σ_b^2}{C-c_0} \bar{n}\)+\(\frac{c_1 σ_w^2}{C-c_0} \frac{1}{\bar{n}}\)
=(式3)
(iii)偏微分=0の条件
(式3)において、偏微分\(\displaystyle \frac{\partial σ_{\bar{\bar{x}}}^2}{\partial \bar{n}} \)=0を解きます。
\(\displaystyle \frac{\partial σ_{\bar{\bar{x}}}^2}{\partial \bar{n}} \)=\(\frac{c_2 σ_b^2}{C-c_0}-\frac{c_1 σ_w^2}{C-c_0} \frac{1}{\bar{n}^2}\)=0
整理すると、
\(c_2 σ_b^2\)=\(\frac{c_1 σ_w^2}{\bar{n}^2}\)
となり、
\(\bar{n}^2\)=\(\frac{c_1}{c_2} \frac{σ_w^2}{σ_b^2}\)
より、最適配分の条件式が導出できました。
公式暗記より導出を理解して、自力でできるようにしましょう！
まとめ
「2段サンプリングの費用関数で最適配分の式が導出できる」をわかりやすく解説しました。
- ①2段サンプリングの費用関数
- ➁最適配分の式を導出
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119