投稿者: QCプラネッツ

★ 本記事のテーマ

コンデンサとスイッチ問題の“本当は大事なところ”をやさしく解説！

高校物理の電気分野には、コンデンサとスイッチを使った問題がよく登場します。
しかし、実は高校で扱う内容は「本来知っておくべきこと」のごく一部だけです。

この記事では、

を、苦手な人でも理解できるようにやさしく解説します。

高校物理のコンデンサ＋スイッチ問題は、ほぼ次の2種類だけです。

時間を横軸に、電流・電圧を縦軸にとった時間変化をみると、
下図のように、
・①t=0付近
・②t＝∞(状態が収束)
の２つだけです。

となると、当然、

と思いますよね。

実際の電気回路では、
スイッチを入れてから状態が落ち着くまでの「途中の変化（過渡応答現象といいます）」こそ重要です。

しかし高校物理では、この「途中の変化」をまったく扱いません。

本来は、次のようなことを気にしなければいけません。

スイッチを入れた瞬間、
電流がドッと流れて回路が壊れる可能性があります。
そうなると、許容値を超えて回路素子が破壊される危険があります。

実際の設計では「瞬間的な最大電流」、「許容電圧」がとても重要。

例えば、
「充電に時間がかかりすぎる」
「立ち上がりが遅い」
などは、機器の性能に直結します。

十分時間が経過した後の定常状態になるとはいえ、
電気信号は要求される速度で伝達されなければなりません。
そのため、回路は指定された時間内に立ち上がる必要があります。

遅延時間\(t\)において
\(t=CR\)
のとおり、
キャパシタンス(C)と抵抗(R)の積になります。

★ 例えば、RC回路のコンデンサの電圧変化

例えば、RC回路のコンデンサ電圧はこんな形で変化します。

R、Cの大きさで、コンデンサの電圧\(v\)の立ち上がりの様子を比較してみましょう。

共通して言えることは、

数式で書くと、
\(v\)≡\(1-e^{-\frac{t}{RC}}\)
であり、この関数は単調減少で変曲点がないため、
電圧が途中で上下することはないこともわかります。

そして、

ターゲットとする電圧がどのように変化するか
(単調に収束するのか、上下に乱高下するのか)

という振る舞いと、

その電圧が収束に至るまでの時間を
過渡応答として確認したいポイントです。

では、なぜ高校物理ではこの大事な「途中の変化」を扱わないのでしょうか？

理由はシンプルで、

そのため、
「直後（t=0）」と「十分時間が経った後（t→∞）」だけを扱うのです。

実は、過渡応答の式はそこまで難しくありません。

簡単な例を挙げてみます。

すでに紹介していますが、解いてみましょう。

★ 例題

コンデンサにかかる電圧は
\(Q=I×t=C×V_c\)
から
\(I\)=\(C \frac{dV_c}{dt}\)
となりますね。

キルヒホッフの法則から
\(E\)=\(IR+V_c(t)\)
\(I\)=\(C \frac{dV_c}{dt}\)

電流と電圧の関係から
上の式が出てきます。

微分方程式を解くと

\(V_c(t)\)=\(E(1-e^{-\frac{t}{cR}})\)
が得られます。

この関数をグラフにすると、先のグラフになります。

過渡応答現象は大事ですが、微分方程式を解くのが難しく、高校より大学で学びます。

大学では、
●RC回路
●RL回路
●RLC回路
●LC回路
に対して、

ラプラス変換
などを使って過渡応答を体系的に学びます。

しかし、
高校生のうちに「状態が変化する途中が大事」という感覚を持っておくと、大学での理解が圧倒的に楽になります。

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★ 本記事のテーマ

電気分野は、

など、バラバラの公式が大量に出てくるので苦手になりやすいですね。

でも実は、

つまり、 丸暗記しなくてOKです！
つながりを理解すれば、公式は自然に出てきます！
やってみましょう。

まず、誰でも知っている公式を使います。ここは大丈夫ですよね！

この2つは「仕事 W」を使うという点で同じ構造です。
ここが電気公式の「入口」になります。

導出のために必要なのは、たったこれだけです。これだけは覚えましょう。

電荷とクーロン力・電場の関係は覚えておきましょう。

クーロン力の法則も覚えておきましょう。

この３つだけで、電気の主要公式が全部つながります。
やってみましょう。

ここからが本題。 丸暗記しなくても、流れで理解すれば勝手に公式が出てきます。

電気の仕事は
\(W\)=\(V\)×\(I×t\)=\(V\)×\(Q\)
電流 I を時間 t 流すと電荷 Q が動くから
\(Q\)=\(I×t\)

●力学の仕事：\(W\)=\(F×r\)
●電気の力：\(F\)=\(Q×E\)
だから

\(W\)=\(Q×E×r\)

一方、電気の仕事は

\(W\)=\(V×Q\)

両者を比べると

\(W\)=\(V\)×\(Q\)=\(Q\)×\(E×r\)
より、電荷 Q を消して

これで「電位(電圧)＝電場×距離」が導出できました。

クーロン力　×　距離＝仕事
または、クーロン力を距離で積分しても導出できます。

●力：\(F\)=\(k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}\)
●仕事：\(W\)=\(F×r\)=\(k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}×r\)
=\(k \frac{Q_1 Q_2}{r}\)

これは位置エネルギー
\(U\)=\(k \frac{Q_1 Q_2}{r}\)

つまり、 クーロン力から位置エネルギーが自然に出てくるのがわかります。

ここが高校物理で最も「つぎはぎ」に見える公式ですが、導出は超シンプルです。

電荷の定義： \(Q\)=\(I×t\)=\(C×V\)
に
オームの法則：\(V\)=\(I×R\)
代入すると

\(Q\)=\(I\)×\(t\)=\(C\)×\((I×R)\)
両辺を \(I\) で割ると

これが「時定数」。 丸暗記不要。 定義をつなげるだけで勝手に出てきます。

寄生容量と抵抗が大きいと電気信号の伝達が遅くなるというイメージで押さえておきましょう。QCプラネッツの経験では、半導体の回路設計でよく使う式です。

以上、まとめると、

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★ 本記事のテーマ

しかし、

そこで、

詳細は関連記事に書いています。ご確認ください。

【リンク】【重要】高校物理の電気はクーロン力法則でほぼ説明できる 「クーロンの法則」「電場・ガウスの法則」「オームの法則」と別々に暗記していませんか？本記事では、電気の本質を“クーロン力”から一気に整理。バラバラだった知識がつながり、苦手意識がスッと消える学び方を紹介します。

高校物理の電気分野を学ぶとき、多くの人が次のように感じます。

でも実は

クーロン力から
・電場
・電気力線
・オームの法則
などはすべて導き出せます。

つまり、電気の根っこは「電荷同士が押し合う・引き合う力」だけ。 これを理解すると、電気分野が一気に一本のストーリーになります。

クーロンの式は
・距離の2乗に反比例
・電荷の大きさに比例
というだけです。

だから

しかし、クーロンの法則には“弱点”があります。

\(F\)=\(k\frac{q_1 q_2}{r^2}\)

ここが重要ポイントです！

つまり、電荷を動かしたとき、力が「いつ」伝わるかは式に入っていません。瞬時に力が入る!という意味となってしまいます。

実際、現実の電磁気は、 光の速さで伝わる（＝時間がかかる） という性質を持っています。

この「伝わるまでの時間」を考えると、 エネルギー保存則が一瞬だけ成立しなくなる という論理的な問題が出てきます。

ここでは、あなたの問題集の例題を使って、 「なぜ場という概念が必要なのか」を高校生でも理解できる形で説明します。

固定した電荷を“瞬間移動”させると何が起きる？を考えてみましょう。

QCプラネッツ問題集　 0404 【4】より引用

不思議なこととは、

下表のように瞬間前後の
・系全体のエネルギーE=K+U
・系全体の運動エネルギーK
(実際は電荷\(q_2\)のみの運動エネルギー)
・系全体の位置エネルギーU
\(U=-k\frac{q_1 q_2}{r}\)
・２電荷間にかかるクーロン力\(F\)
を見ていきます。

当然、外力の影響はないので、系全体のエネルギーEは
どの時刻も保存されます。

まず、瞬間移動前後で位置エネルギーは変わります。
・移動前：\(U_0\)
・移動後：\(U_1\)（距離が変わるので\(U_0\) ≥ \(U_1\)）
しかし、力が伝わるまでの \(Δt\) の間は、 \(q_2\) は「古い力 \(F_0\)」を受け続けます。
そのため、 全エネルギー E が一瞬だけ合わなくなる という現象が起きます。

式で書くと、
・\(E\) = \(K_0\) + \(U_0\)
・\(E\) = \(K_1\) + \(U_1\)
・伝播中：\(E_1\) = \(K_0\) + \(U_1\) ≠ \(E\)
となります。

つまり、
・伝播中：\(E_1\) = \(K_0\) + \(U_1\) + \(ΔE\)= \(E\)
となり、

困りました！
この ΔE が「どこから来たのか？」が問題になります。
この結論は現状は、

力が伝わるまでの短い時間、 何もない空間がエネルギーを補ったり返したりしている と考えないと、エネルギー保存則が成立しません。

ここから生まれたのが、

高校物理では、電場・磁場が「当たり前に存在するもの」として登場します。 しかしそれが理解を難しくしていますよね。

高校物理の電気はクーロン力だけで説明できるとはいえ、 実際の計算はとても大変です。

ただし、

なので、本ブログで解説しました。

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記事解説で紹介した各問題を詳細に学べるために、

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「【重要】電気と磁気はなぜ「場」を考える必要があるのかがよくわかる」を解説しました。