【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。
｢正規分布の標準化する理由がわからない｣、｢平均μ、分散\(σ^2\)の一般的な正規分布の確率の計算ができない｣、「試験で解ける気がしない」など困っていませんか？。
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
正規分布の応用問題を解けるためのポイント
- ➀正規分布の標準化をする理由がわかる
- ②正規分布の解法は１つで十分
- ③正規分布の応用問題が解ける
さっそく見ていきましょう。
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➀正規分布の標準化をする理由がわかる
正規分布の標準化とは
正規分布の標準化とは、平均0、分散\(1^2\)に直すことです。数式では、平均μ(≠0)、分散\(σ^2≠1^2\)な正規分布を次の式で標準化します。
$$ Z=\frac{\bar{x}-μ}{σ} $$
標準化した場合のグラフの変化イメージを見ましょう。平均10,分散\(5^2\) (以下N(10,\(5^2\))と書きます)の正規分布を標準化した場合の図です。正規分布は平均、分散によって尖り具合が違いのがわかります。
正規分布の標準化は正規分布表が1つで済むから
正規分布の標準化する理由は、正規分布表が1つで済むからです。わかっているなら簡単ですが、そうでない場合は、理由をわからずに標準化の式を使っていることになり、注意が必要です。
世の中には、いろいろな平均・分散から成る正規分布がたくさんあります。
【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかるにあるように、正規分布は積分が困難な関数なので、正規分布表を作っていましたね。
あらゆる平均、分散に対して正規分布表を作ると大変になります。だから、平均0、分散\(1^2\)に直します。そうすれば、平均0、分散\(1^2\)の正規分布表１枚で済みますよね。
②正規分布の解法は１つで十分
標準化する理由を理解した次は、いろいろな応用問題に振り回されずに済む必勝方法を解説します。
数学が得意で正規分布に慣れた私でも、出題された瞬間、手が止まります。でも安心！必勝方法に持ち込めば解けます！ その方法は次の3つです。簡単な問いでも難しい問いでも必ず3つの方法で解いていきます。
- (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く
- (B)求められる確率の区間を斜線で塗る
- (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる
次に、資格試験に頻出な応用問題を例に必勝解法で攻略します
③正規分布の応用問題が解ける
3題挙げます。
①P(X＜15)
②P(X≦3)
③P(12≦X≦14)
④P(5≦X≦11)
これならできそう
(1)この国の20歳の男性で身長が180cm以上の人はおよそ何%いるか？
(2)この国の20歳の男性を1000人調べた。身長が160cm以上175cm以下の人はおよそ何%いるか？
ちょっと応用
この試験の点数分布はほぼ正規分布に従うと仮定する。
なお、補欠合格というのもあり、60点以上が対象でその合格率は35%だった。
(1)この試験の平均点と点数の標準偏差はいくらか？
(2)Ａさんはこの試験で80点とって合格した。上位何％にいることになるか？
(3)Ｂさんはこの試験で45点とって不合格だった。上位何％にいることになるか？
かなり応用、手ごわい
重要なのは、どんな問いが出ても次の3つの方法で攻略すれば解けます!
- (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く
- (B)求められる確率の区間を斜線で塗る
- (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる
①P(X＜15)
②P(X≦3)
③P(12≦X≦14)
④P(5≦X≦11)
- (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く
正規分布のなめらかなグラフを描きます。
- (B)求められる確率の区間を斜線で塗る
正規分布の①P(X＜15)、②P(X≦3)、③P(12≦X≦14)、④P(5≦X≦11)区間を斜線で塗りましょう。
なめらかなグラフを描きます。
- (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる
Z=\(\frac{μ-\bar{x}}{σ}\)=\(\frac{μ-10}{5}\)を代入します。結果は上図のKpになります。
ここまで、機械的に絵を描けば、どの面積を出せば良いかがはっきりしますね。面積は正規分布表から値を求めます。
➀はKp=1以上の面積ですから正規分布表Kp=1のpが答えです。よって、p=0.1587
②は左右対称性で考えれば、Kp=1.4以上の面積ですから正規分布表Kp=1.4のpが答えです。よって、p=0.0808
③はKp=0.4以上の領域から、0.8以上の領域を引けばよいですね。よってp=0.3446-0.2119=0.1327
④はKp=-1から0までの領域と、0から0.2までの領域に分けます。
Kp=-1から0までの領域は、左半分確率0.5からKp=-1以下の領域を引けばよいですね。
Kp=0から0.2までの領域は右半分確率0.5からKp=0.2以上の領域を引けばよいですね。
よって答えは (0.5-0.1587)+(0.5-0.4207)=0.4206
正規分布表はこの4パターンが図から計算できれば完璧です！
(1)この国の20歳の男性で身長が180cm以上の人はおよそ何%いるか？
(2)この国の20歳の男性を1000人調べた。身長が160cm以上175cm以下の人はおよそ何%いるか？
- (A)正規分布が問題に出たら、正規分布のグラフを手で描く
正規分布のなめらかなグラフを描きます。
- (B)求められる確率の区間を斜線で塗る
正規分布の①P(X>180)、②P(160≦X≦175)区間を斜線で塗りましょう。
なめらかなグラフを描きます。
- (C)標準化Z(N(0,1))に直して、正規分布表から確率(面積)を読みとる
Z=\(\frac{μ-\bar{x}}{σ}\)=\(\frac{μ-170}{6}\)を代入します。結果は上図のKpになります。
ここまで、機械的に絵を描けば、どの面積を出せば良いかがはっきりしますね。面積は正規分布表から値を求めます。
➀はKp=1.66以上の面積ですから正規分布表Kp=1.66のpが答えです。よって、p=4.85%
②は160cm(Kp=-1.66)から170cmまでの確率と170cmから175cm(Kp=0.83)までの確率を求めたらよいですね。
Kp=-1.66から0までの領域は、左半分確率0.5からKp=-1.66以下の領域を引けばよいですね。
Kp=0から0.83までの領域は右半分確率0.5からKp=0.83以上の領域を引けばよいですね。
よって答えは (0.5-0.0485)+(0.5-0.2033)=0.7198
1000人あたりでは719人とわかりますね。
この試験の点数分布はほぼ正規分布に従うと仮定する。
なお、補欠合格というのもあり、60点以上が対象でその合格率は35%だった。
(1)この試験の平均点と点数の標準偏差はいくらか？
(2)Ａさんはこの試験で80点とって合格した。上位何％にいることになるか？
(3)Ｂさんはこの試験で45点とって不合格だった。上位何％にいることになるか？
これも同様にして解けます。平均μと標準偏差σを求める必要があります。別途問題集で解説します。
まとめ
本記事では、一般的な正規分布を標準化する理由を解説し、一般の正規分布における任意の区間の確率を１つの方法で解ける解法を紹介しました。
- ➀正規分布の標準化をする理由がわかる
- ②正規分布の解法は１つで十分
- ③正規分布の応用問題が解ける
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119