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「確率変数の変換が、わからない、解けない？」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁ Z=XY積の場合（事例1）
• ➂ Z=XY積の場合（事例2）

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①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

同じ１つの解法でイケますので、ご安心ください。

2変数の確率変数の変換の求め方

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

➁ Z=XY積の場合（事例1）

QCプラネッツでは、５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

1. 簡単な関数の変換事例
2. t分布の確率密度関数の導出
3. F分布の確率密度関数の導出>
4. 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
5. 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

今回は、その4「1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法」です。

1変数の変換については、関連記事でまとめていますが、主にZ=X+Y,Z=X-Yの加減についてでした。

【まとめ】1変数の確率変数の変換がよくわかる 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ 確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

ただし、乗商については書いていません。なぜなら、

では、解説していきます。2例解説します。

(3) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法

やってみましょう。

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=1\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)=1\) (0 ≤ \(y\) ≤ 1)

解き方は、

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ですから、１つずつ行きましょう。

(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)

(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{z}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{z}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1 \frac{1}{w} dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)

結構、スッキリしますね！

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。

となります。ここが難しいですね！

もう１つ事例を挙げます。次は、積分が困難なので、途中で終わる場合です。

➂ Z=XY積の場合（事例2）

(4) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法

やってみましょう。

解き方は、事例1と同じです。

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ですから、１つずつ行きましょう。

(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{z}{w}\)
\(y\)=\(w\)

(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
\frac{1}{w} & -\frac{1}{w^2} \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{1}{w}・1-0・(-\frac{1}{w^2}) \)
=\(\frac{1}{w} \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw\)
=(式1)

よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}\)

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。

実は、この
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} λμe^{-λ\frac{z}{w}}・e^{-μw} \frac{1}{w}dw \)
の積分が非常に難しいです。なぜなら、

\(e^{-\frac{1}{w}}・e^{-w}\)の積分で、特に、\(e^{-\frac{1}{w}}\)が難しいです。

一旦ここで、保留しましょう。

うまく計算ができないパターンもブログとして掲載しますね。
教科書は、うまく計算ができる例だけしかないので、あたかもどんな関数でも変換ができるように錯覚しがちです。

とは、言っても、伝えたいことは

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=XY積の場合)」を解説しました。

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁ Z=XY積の場合（事例1）
• ➂ Z=XY積の場合（事例2）

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁F分布の確率密度関数の導出

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

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①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

同じ１つの解法でイケますので、ご安心ください。

2変数の確率変数の変換の求め方

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

➁F分布の確率密度関数の導出

QCプラネッツでは、５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

1. 簡単な関数の変換事例
2. t分布の確率密度関数の導出
3. F分布の確率密度関数の導出
4. 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
5. 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

今回は、その3「F分布の確率密度関数の導出」です。

(3)F分布の確率密度関数の導出

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})}x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\) (\(x\) ≥ 0)
\(g(y)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}\) (\(y\) ≥ 0)

解いていきましょう。解法は、

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ですから、１つずつ行きましょう。

(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

また、範囲は(\(x\) ≥ 0), (\(y\) ≥ 0)
(\(z\) ≥ 0), (\(w\) ≥ 0)

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{m}{n}wz\)
\(y\)=\(w\)

(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
\frac{m}{n}w & \frac{m}{n}z \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(\frac{m}{n}w・1-0・\frac{m}{n}z \)
=\(\frac{m}{n}w \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)

=\(\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})}(\frac{m}{n}wz)^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}(\frac{m}{n}wz)}\)\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}\frac{m}{n}w dzdw\)

文字式を整理すると、
=\(\frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} z^{\frac{m}{2}-1}}
{2^{\frac{m+n}{2}}Γ(\frac{m}{2})Γ(\frac{n}{2})}\)\(w^{\frac{m+n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(\frac{m}{n}z+1)w}dzdw\)

=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

\( h(z)=\displaystyle \int_{-∞}^{∞} p(z,w)dw \)
\(z,w\)はともに0以上ですから
=\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞}p(z,w)dw \)
=\(\frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} z^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ(\frac{m}{2})Γ(\frac{n}{2})}\)\(\displaystyle \int_{0}^{∞} w^{\frac{m+n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(\frac{m}{n}z+1)w} dw \)
=(式2)

t分布の確率密度関数導出と同様に、一旦、次の積分を考えます。
　ここから
\(\displaystyle \int_{0}^{∞}w^p e^{-aw}dw \)=(式3)
\(t=aw\)とすると、
\(w=\frac{t}{a}\),\(\frac{dt}{dw}=a\)となり、これを(式3)に代入します。

(式3)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞}(\frac{t}{a})^p e^{-t} (\frac{1}{a})dt\)
=\(\frac{1}{a^{p+1}}\displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)
=\(\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\)
=(式4)

ここで、Γ関数は
\(Γ(p+1)= \displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)
です。

(式2)に代入するため、(式4)の文字を置き換えます。
\(p=\frac{m+n}{2}-1\)
\(a=\frac{1}{2}(1+\frac{m}{n}z)\)
とおいて、(式１)に代入します。

(式2)
=\(\frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} z^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ(\frac{m}{2})Γ(\frac{n}{2})}\)\(\displaystyle \int_{0}^{∞} w^{\frac{m+n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(\frac{m}{n}z+1)w} dw \)
=\(\frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} z^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ(\frac{m}{2})Γ(\frac{n}{2})}\)\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (\frac{t}{a})^p・e^{-a\frac{t}{a}} \frac{1}{a}dt\)
=\(\frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} z^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ(\frac{m}{2})Γ(\frac{n}{2})}\)\(\frac{1}{a^{p+1}}\displaystyle \int_{0}^{∞} t^p・e^{-t}dt\)
=\(\frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} z^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ(\frac{m}{2})Γ(\frac{n}{2})}\)\(\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\)
=(式5)

(式5)に対して、
\(p=\frac{m+n}{2}-1\)
\(a=\frac{1}{2}(1+\frac{m}{n}z)\)
から、\(p,a\)を\(m,n,z\)の式に戻します。

(式5)
=\(\frac{(\frac{m}{n})^{\frac{m}{2}} z^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}Γ(\frac{m}{2})Γ(\frac{n}{2})}\)\(\frac{Γ(\frac{m+n}{2})}{(\frac{1}{2}(1+\frac{m}{n}z))^{\frac{m+n}{2}}}\)
ここで、\(n,2, Γ(\frac{m+n}{2}),Γ(\frac{m}{2}),Γ(\frac{n}{2})\)に注目して変形すると

=\(\frac{m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})}\frac{z^{\frac{m}{2}-1}}{(mz+n)^{\frac{m+n}{2}}}\)
となります。

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(F分布の確率密度関数の導出)」を解説しました。

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁F分布の確率密度関数の導出

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁ t分布の確率密度関数の導出

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

同じ１つの解法でイケますので、ご安心ください。

2変数の確率変数の変換の求め方

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

➁ t分布の確率密度関数の導出

QCプラネッツでは、５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

1. 簡単な関数の変換事例
2. t分布の確率密度関数の導出
3. F分布の確率密度関数の導出
4. 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
5. 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

今回は、その２「t分布の確率密度関数の導出」です。

(2) t分布の確率密度関数の導出

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\) (\(x\) ≥ 0)
\(g(y)=\frac{1}{2π}e^{-\frac{1}{2}y^2}\) (-∞ ≤ \(x\) ≤ ∞)

解いていきましょう。解法は、

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ですから、１つずつ行きましょう。

(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(w\)
\(y\)=\(z\sqrt{\frac{w}{n}}\)

(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
\sqrt{\frac{w}{n}}& \frac{1}{2\sqrt{w}}
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(0・\frac{1}{2\sqrt{w}}\)-1・\(\sqrt{\frac{w}{n}}\)
=\(-\sqrt{\frac{w}{n}}\)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね！

(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}}\)\(\frac{1}{2π}e^{-\frac{1}{2}z^2\frac{w}{n}}dzdw\)
(|det J|=\(\frac{w}{n}\))

さらに変形していきます。
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{w})}dzdw\)
=\(p(z,w)\)

よって、同時確率密度関数\(p(z,w)\)は
\(p(z,w)= \frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}w^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{w})}dzdw\)
と計算できます。

なお、ここから\(z\)または、\(w\)だけの周辺確率分布関数が必要なら、不要な変数について積分が必要となります。

今回は\(h(z)\)と\(z\)についての関数が欲しいので、\(p(z,w)\)について\(w\)で積分します。
\( h(z)=\displaystyle \int_{-∞}^{∞} p(z,w)dw \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)
=(式1)

ここで、\(w=x\)はもともと\(x\) ≤ 0ですから、積分区間を[0,∞]に変えています。

次に、\(\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)を計算します。よく見るとΓ関数にもっていけそうです。

一旦、次の積分を考えます。
\(\displaystyle \int_{0}^{∞}w^p e^{-aw}dw \)=(式2)
\(t=aw\)とすると、
\(w=\frac{t}{a}\),\(\frac{dt}{dw}=a\)となり、これを(式2)に代入します。

(式2)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞}(\frac{t}{a})^p e^{-t} (\frac{1}{a})dt\)
=\(\frac{1}{a^{p+1}}\displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)
=\(\frac{Γ(p+1)}{a^{p+1}}\)
=(式3)

ここで、Γ関数は
\(Γ(p+1)= \displaystyle \int_{0}^{∞}t^p e^{-t}dt\)\)
です。

(式1)に代入するため、(式3)の文字を置き換えます。
\(p=\frac{n-1}{2}\)
\(a=\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})\)
とおいて、(式１)に代入します。

(式1)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}Γ(\frac{n}{2})}\displaystyle \int_{0}^{∞}w^{\frac{n-1}{2}}e^{-\frac{w}{2}(1+\frac{z^2}{n})}dw \)

=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}Γ(\frac{n}{2})}}\)\(\frac{Γ(\frac{n+1}{2})}{(\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})^{\frac{n+1}{2}})}\)
=(式4)

さらに、Γの式が複数あるので、ベータ関数でまとめられないか？を見ましょう。

普通気が付かないのですが、よくみると
\(\sqrt{π}\)=Γ\((\frac{1}{2})\)
とわかります。これを(式4)に代入します。

(式4)
=\(\frac{1}{\sqrt{2nπ}}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}Γ(\frac{n}{2})}}\)\(\frac{Γ(\frac{n+1}{2})}{(\frac{1}{2}(1+\frac{z^2}{n})^{\frac{n+1}{2}})}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{π}}B(\frac{1}{2},\frac{n}{2})(1+\frac{z^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}\)
=(式5)

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(t分布の確率密度関数の導出)」を解説しました。

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁ t分布の確率密度関数の導出

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁実例を使って理解する！

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QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

同じ１つの解法でイケますので、ご安心ください。

2変数の確率変数の変換の求め方

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます！

➁実例を使って理解する！

QCプラネッツでは、５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

1. 簡単な関数の変換事例
2. t分布の確率密度関数の導出
3. F分布の確率密度関数の導出
4. 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
5. 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

今回は、その１「簡単な関数の変換事例」です。

(1) 簡単な関数の変換事例

解いていきましょう。解法は、

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ですから、１つずつ行きましょう。

(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(\frac{1}{5}(2z+w)\)
\(y\)=\(\frac{1}{5}(z-2w)\)
連立方程式から求められます。

(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビアン行列から行列式ヤコビアンを求めます。

\(det J\)=\(\frac{2}{5}・(-\frac{2}{5})\)-\(\frac{1}{5}・\frac{1}{5}\)
=\(-\frac{1}{5}\)
で計算できます。

(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(\frac{1}{2} × \frac{1}{5}(2z+w) ×\frac{1}{25}(z-2w)^2 ×|-\frac{1}{5}| dzdw\)
=\(\frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 dzdw\)

よって、同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
\(g(z,w)= \frac{1}{1250} (2z+w) (z-2w)^2 \)
と計算できます。

なお、ここから\(z\)または、\(w\)だけの周辺確率分布関数が必要なら、不要な変数について積分が必要となります。

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(事例1)」を解説しました。

• ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
• ➁実例を使って理解する！

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する
• ➁2変数の確率変数の変換の流れを理解する
• ➂実例をご紹介

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫!

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する

関連記事に１変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

【まとめ】1変数の確率変数の変換がよくわかる 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説！教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ 確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

１変数の確率変数の変換の求め方

1. \(y=x\)の式を\(x=y\)の式に直す
2. \(f(x)\)の\(x\)に\(y\)の式をそのまま代入する
3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する
   \(dx=\frac{dx}{dy}dy\)と変形(これは高校数学レベル)
4. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変化するが、
   \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f(yの式) \frac{dx}{dy}dy \)
5. 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
   \(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y) dy \)=\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f(yの式) \frac{dx}{dy}dy \)

ですね。

ただし、これは、

ので、Z=XY,Z=X/Yの変換は、2変数の確率変数の変換から攻めます！

➁2変数の確率変数の変換の流れを理解する

取り上げる事例5つ

QCプラネッツでは2変数の確率変数の変換の実例を

1. 簡単な関数の変換事例
2. t分布の確率密度関数の導出
3. F分布の確率密度関数の導出
4. 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
5. 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

を取り上げます。

是非、マスターしましょう！　

基本的な流れ

大事な５つを取り上げますが、

では、解法の流れを解説します。

2変数の確率変数の変換の解法の流れ

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
   \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
   (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
   を計算する。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます！

➂実例をご紹介

５つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

1. 簡単な関数の変換事例
2. t分布の確率密度関数の導出
3. F分布の確率密度関数の導出
4. 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
5. 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

(1) 簡単な関数の変換事例

2変数の確率変数の変換がよくわかる(事例1) 2変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は２変数の簡単な関数を例に、教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

(2) t分布の確率密度関数の導出

t分布の確率密度関数の導出がよくわかる t分布の確率密度関数は導出できますか？本記事では、2つの確率変数の変換の解法パターンでわかりやすく丁寧にt分布の確率密度関数を導出します。統計学を学んでいる方は必読です。

(3) F分布の確率密度関数の導出

F分布の確率密度関数の導出がよくわかる F分布の確率密度関数は導出できますか？本記事では、2つの確率変数の変換の解法パターンでわかりやすく丁寧にF分布の確率密度関数を導出します。統計学を学んでいる方は必読です。

(4) 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法

2変数の確率変数の変換がよくわかる(１変数の積の場合) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は２変数の変換方法を使って、1変数Zの積Z=XYの例を、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！

(5) 変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=X/Y商の場合) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は２変数の変換方法を使って、1変数Zの商Z=X/Yの例を、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる」を解説しました。

• ①1変数の確率変数の変換の流れをまず理解する
• ➁2変数の確率変数の変換の流れを理解する
• ➂実例をご紹介

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

１つの解法で解けます！　大丈夫です！ご安心ください。

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂確率変数の変換の事例紹介
• ➃実例を使って理解する！

「➃実例を使って理解する！」の例題を挙げます。さっと解けるかどうか確認ください。簡単な関数で練習しましょう。

さっと解けますか？自信がなければ、この記事を読み進めてください。

①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

➁公式見ても理解しにくいから無視していい！

公式（紹介だけ）

確率変数の変換は、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係を理解する上で大事ですが、わかりにくい！

確かに、満点の回答なのですが、

公式が理解できない理由

何度も見ても理解できない理由を挙げると

1. \(f(x)\)と\(g(y)\)の関係が見えない。
2. 単にX⇒Yの変換だからx=をy=に変えるだけとしたいけど、よくわからない公式になっている
3. \(Y=aX+b\)、\(Y=X^2\)、\(Y^2=X\)などの例題が教科書にあるが公式が理解できないから計算しても何をやっているのかがわからない

と、QCプラネッツも何度も諦めていました。

公式から勉強する方法を変えてみる！

でも、発想を変えて

として、QCプラネッツのオリジナルな解法を紹介します。

としましょう。

➂確率変数の変換の事例紹介

以下の例を関連記事で解説しています。

1. １次式(\(Y=aX+b\))
2. 2次式(\(Y=X^2\))
3. 0.5次式(\(Y^2=X\))
4. 応用事例(3次式やlogがある場合)

１つずつ紹介します。

１次式(\(Y=aX+b\))

1変数の確率変数の変換がよくわかる(1次式編) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は1次式y=ax+b型を解説！確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

2次式(\(Y=X^2\))

1変数の確率変数の変換がよくわかる(2次式編) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は1次式y=x^2型を解説！正規分布からχ2乗分布に変換する大事な問いを、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

0.5次式(\(Y^2=X\))

1変数の確率変数の変換がよくわかる(0.5次式編) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は0.5次式y^2=x型を解説！正規分布からχ2乗分布に変換する大事な問いを、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ 確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

応用事例(3次式やlogがある場合)

1変数の確率変数の変換がよくわかる(応用編) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は3次式や指数対数型を解説！正規分布から対数正規分布に導出できる方法など教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！ 確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

4つ関連記事がありますが、解き方はすべて１つでOKです。ご安心ください。

➃実例を使って理解する！

確率変数の変換をマスターする例題

では、本当に解けるかどうかを例題で確認しましょう！

確率変数の変換をマスターする解法

解法は以下の通りで実施します。これはどんな2変数の確率変換でも同様の方法でイケます！

1. \(y=x\)の式を\(x=y\)の式に直す
2. \(f(x)\)の\(x\)に\(y\)の式をそのまま代入する
3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する
   \(dx=\frac{dx}{dy}dy\)と変形(これは高校数学レベル)
4. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変化するが、2次式の変換独自のやり方(難しくないのでご安心ください！)をまずは暗記！
   \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)
5. 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
   \(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y) dy \)=\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(yの式) \frac{dx}{dy}dy \)

完全に同じ解き方でイケます！

解法

では、実際に解いてみましょう。

1. \(y=x\)の式を\(x=y\)の式に直す

【例題1】では、

(1) \(Y=3X+2\) では、
\(X=\frac{Y-2}{3}\)
に変形します。

(2) \(Y=X^2\)では、
\(X=±\sqrt{y}\)
に変形します。

(3) \(Y^2=X\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1) では、
そのままの
\(X=Y^2\)
でOKです。

(4) \(logY=X\)では、
そのままの
\(X= logY \)
でOKです。

2. \(f(x)\)の\(x\)に\(y\)の式をそのまま代入する

\(f(x)\)に代入すると、

(1) \(Y=3X+2\) では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-x^2)\)
=\(f(\frac{y-2}{3})=\frac{3}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2)\)

(2) \(Y=X^2\)では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-x^2)\)
=\(f(±\sqrt{y})=\frac{3}{4}(1-(±\sqrt{y})^2)\)

(3) \(Y^2=X\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1) では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-x^2)\)
=\(f(y^2)=\frac{3}{4}(1-(y^2)^2)\)

(4) \(logY=X\)では、
\(f(x)=\frac{3}{4}(1-(logy)^2)\)

４問とも同じ1つの解法でOKです、

3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する

xの範囲からｙの範囲に変えます。

4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から導出

(1) \(Y=3X+2\) では、
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{-1}^{5} \frac{3}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{-1}^{5} \frac{3}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2) \frac{1}{3} dy\)
=\(\displaystyle \int_{-1}^{5} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{1}{4}(1-(\frac{y-2}{3})^2)\)
できましたね！

(2) \(Y=X^2\)では、
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{3}{4}(1-(±\sqrt{y})^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{3}{4}(1-y)\frac{dx}{dy+}-\frac{3}{4}(1-y)\frac{dx}{dy-})dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{3}{4}(1-y)(\frac{1}{2\sqrt{y}})-\frac{3}{4}(1-y) (-\frac{1}{2\sqrt{y}}))dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} (\frac{3}{4}(1-y)(\frac{1}{\sqrt{y}})dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{3}{4}(1-y)\frac{1}{\sqrt{y}}\)
できましたね！

(3) \(Y^2=X\) (0 ≤ \(x\) ≤ 1) では、
\( \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{5} \frac{3}{4}(1-(y^2)^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{3}{4}(1-y^4) 2y dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{1} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{3}{2}(1-y^4) y \)
できましたね！

(4) \(logY=X\)では、
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{1e}^{e} \frac{3}{4}(1-(logy)^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{1/e}^{e} \frac{3}{4}(1-(logy)^2) \frac{1}{y} dy\)
=\(\displaystyle \int_{1/e}^{e} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{3}{4}(1-(logy)^2) \frac{1}{y} \)
できましたね！

一連の解法を見ていただきました。これで解けます！

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「1変数の確率変数の変換がよくわかる(応用編)」を解説しました。

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

今回は２問応用例を解説します。１つの解法で解けます！　大丈夫です！ご安心ください。

1. \(Y=X^3\)の変換事例
2. \(logY=X\)の変換事例
   対数正規分布の確率密度関数を導出します！

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

➁公式見ても理解しにくいから無視していい！

公式（紹介だけ）

確率変数の変換は、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係を理解する上で大事ですが、わかりにくい！

確かに、満点の回答なのですが、

公式が理解できない理由

何度も見ても理解できない理由を挙げると

1. \(f(x)\)と\(g(y)\)の関係が見えない。
2. 単にX⇒Yの変換だからx=をy=に変えるだけとしたいけど、よくわからない公式になっている
3. \(Y=aX+b\)、\(Y=X^2\)、\(Y^2=X\)などの例題が教科書にあるが公式が理解できないから計算しても何をやっているのかがわからない

と、QCプラネッツも何度も諦めていました。

公式から勉強する方法を変えてみる！

でも、発想を変えて

として、QCプラネッツのオリジナルな解法を紹介します。

としましょう。

➂実例を使って理解する！

実際に、QCプラネッツの解き方で例題を理解しましょう。今回は応用編として2問解きます。

1. \(Y=X^3\)の変換事例
2. \(logY=X\)の変換事例(対数正規分布の確率密度関数を導出)

解き方は同じです！ご安心ください。

例題１は3次元の場合の例、例題２は対数の場合の例で対数正規分布の確率密度関数が導出できます。

なお、解き方はどんな変換でも同じです。基本は\(Y=X^2\)は関連記事に書いていますので、ご確認ください。

1変数の確率変数の変換がよくわかる(2次式編) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は1次式y=x^2型を解説！正規分布からχ2乗分布に変換する大事な問いを、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

教科書見ると、

だし。。。これがわからへんねん！！　

QCプラネッツのオリジナルな解法

解法は以下の通りで実施します。これはどんな2変数の確率変換でも同様の方法でイケます！

1. \(y=(x\)の式)を\(x=(y\)の式)に直す
2. \(f(x)\)の\(x\)に(\(y\)の式)をそのまま代入する
3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する
   \(dx=\frac{dx}{dy}dy\)と変形(これは高校数学レベル)
4. 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
   \(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y) dy \)=\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(yの式) \frac{dx}{dy}dy \)

完全に同じ解き方でイケます！

解法

では、実際に解いてみましょう。

1. \(y=(x\)の式)を、\(x=(y\)の式)に直す

【例題1】では、
\(Y=X^3\)
\(X=Y^{\frac{1}{3}}\)
に変形します。

【例題2】では、
\(logY=X\)
はそのままでOKです。

2. \(f(x)\)の\(x\)に(\(y\)の式)をそのまま代入する

\(f(x)\)に代入すると、

【例題1】
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}\)
\(f(Y^{\frac{1}{3}})\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}\)\(e^{-\frac{ Y^{\frac{2}{3}}}{2}}\)

【例題2】
\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}\)
\(f(logY)\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}\)\( e^{-\frac{ (logY)^2 }{2}}\)

3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する

xの範囲からｙの範囲に変えます。

\(Y=X^3\),\(logY=X\)の式の関係性から範囲を求めましょう。

4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から導出

【例題1】
\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} f(y^{\frac{1}{3}}) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} \)\(e^{-\frac{ Y^{\frac{2}{3}}}{2}}\)・\((\frac{1}{3} y^{-\frac{2}{3}}) dy\)
=\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{1}{\sqrt{2π}}\)\( e^{-\frac{ Y^{\frac{2}{3}}}{2}}\)・\((\frac{1}{3} y^{-\frac{2}{3}})\)
できましたね！

【例題2】
\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{-∞}^{∞} (f(logY)) \frac{dx}{dy} dy\)

=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{ (logY)^2 }{2}})・(\frac{1}{y}) dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= (\frac{1}{\sqrt{2π}}\)\( e^{-\frac{ (logY)^2 }{2}})\)・\((\frac{1}{y})\) (y ≥ 0)
できましたね！

この式が、対数正規分布の確率密度関数です。簡単に導出できますね。

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「1変数の確率変数の変換がよくわかる(応用編)」を解説しました。

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

➁公式見ても理解しにくいから無視していい！

公式（紹介だけ）

確率変数の変換は、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係を理解する上で大事ですが、わかりにくい！

確かに、満点の回答なのですが、

公式が理解できない理由

何度も見ても理解できない理由を挙げると

1. \(f(x)\)と\(g(y)\)の関係が見えない。
2. 単にX⇒Yの変換だからx=をy=に変えるだけとしたいけど、よくわからない公式になっている
3. \(Y=aX+b\)、\(Y=X^2\)、\(Y^2=X\)などの例題が教科書にあるが公式が理解できないから計算しても何をやっているのかがわからない

と、QCプラネッツも何度も諦めていました。

公式から勉強する方法を変えてみる！

でも、発想を変えて

として、QCプラネッツのオリジナルな解法を紹介します。

としましょう。

➂実例を使って理解する！

実際に、QCプラネッツの解き方で例題を理解しましょう。今回は0.5次式編として、
\(Y^2=X\)型の変換を考えます。

しかも、2問解いてみましょう。解き方は同じです！ご安心ください。

例題１は指数関数、例題２は自由度１のχ2乗分布です。

なお、逆の操作である、\(Y=X^2\)は関連記事に書いていますので、ご確認ください。

1変数の確率変数の変換がよくわかる(2次式編) 1変数の確率変数の変換が計算できますか？本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は1次式y=x^2型を解説！正規分布からχ2乗分布に変換する大事な問いを、教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説！確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

さて、困った！

教科書見ると、

だし。。。これがわからへんねん！！　

QCプラネッツのオリジナルな解法

解法は以下の通りで実施します。これはどんな2変数の確率変換でも同様の方法でイケます！

1. \(y^2=x\)を\(x=y^2\)の式に直す
2. \(f(x)\)の\(x\)に\(y^2\)をそのまま代入する
3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する
   \(dx=\frac{dx}{dy}dy\)と変形(これは高校数学レベル)
4. 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
   \(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y) dy \)=\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(y^2) \frac{dx}{dy}dy \)

完全に同じ解き方でイケます！

解法

では、実際に解いてみましょう。

1. \(y^2=x\)を\(x=y^2\)の式に直す

これだけ！です。

2. \(f(x)\)の\(x\)に\(y^2\)をそのまま代入する

\(f(x)\)に代入すると、

【例題1】
\(f(x)\)= \(f(y^2)\)=\( \frac{1}{2} e^{-\frac{y^2}{2}}\)

【例題2】
\(f(x)\)= \(f(y^2)\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} (y^2)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y^2}{2}}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} y^{-1}・e^{-\frac{y^2}{2}}\)

3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変形する

xの範囲からｙの範囲に変えます。

xは0⇒∞増加します。一方yは
\(y=+\sqrt{x}\) で(右辺)は正なので、 yも0⇒∞増加します。

4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から導出

【例題1】
\( \displaystyle \int_{0}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (f(y^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (\frac{1}{2} e^{-\frac{y^2}{2}})・(2y) dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (e^{-\frac{y^2}{2}})・(y) dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= e^{-\frac{y^2}{2}}・y \) (y ≥ 0)
できましたね！

【例題2】
\( \displaystyle \int_{0}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (f(y^2) \frac{dx}{dy} dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (\frac{1}{\sqrt{2π}} y^{-1}・e^{-\frac{y^2}{2}})・(2y) dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π}} e^{-\frac{y^2}{2}} dy \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} g(y) dy\)

よって
\(g(y)= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π}} e^{-\frac{y^2}{2}} \) (y ≥ 0)
できましたね！

計算結果が重要！

例題２からは、(f(x))は自由度1のχ2乗分布の式ですが、0.5乗に変換した
(g(y))はN(0,1)の正規分布の式の型になっています。

正規分布とχ2乗分布をつなぐ重要な問いとなります。

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「1変数の確率変数の変換がよくわかる(0.5次式編)」を解説しました。

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

➁公式見ても理解しにくいから無視していい！

公式（紹介だけ）

確率変数の変換は、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係を理解する上で大事ですが、わかりにくい！

さらに、Y=X²の場合は、理解不能な公式展開があります。公式は次の通りです。

確かに、満点の回答なのですが、

公式が理解できない理由

何度も見ても理解できない理由を挙げると

1. \(f(x)\)と\(g(y)\)の関係が見えない。
2. 単にX⇒Yの変換だからx=をy=に変えるだけとしたいけど、よくわからない公式になっている
3. \(Y=aX+b\)、\(Y=X^2\)、\(Y^2=X\)などの例題が教科書にあるが公式が理解できないから計算しても何をやっているのかがわからない
4. \(Y=X^2\)の場合の独自の求め方が、さらに理解できない。。。

と、QCプラネッツも何度も諦めていました。

公式から勉強する方法を変えてみる！

でも、発想を変えて

として、QCプラネッツのオリジナルな解法を紹介します。

としましょう。

➂実例を使って理解する！

実際に、QCプラネッツの解き方で例題を理解しましょう。今回は2次式編として、
\(Y=X^2\)型の変換を考えます。

さて、困った！

教科書見ると、

だし。。。これがわからへんねん！！　

QCプラネッツのオリジナルな解法

解法は以下の通りで実施します。これはどんな2変数の確率変換でも同様の方法でイケます！

1. \(y=x^2\)を\(x=±\sqrt{y}\)の式に直す
2. \(f(x)\)の\(x\)に\(±\sqrt{y}\)をそのまま代入する
3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変化するが、2次式の変換独自のやり方(難しくないのでご安心ください！)をまずは暗記！
   \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)
4. 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
   \(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y) dy \)=\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)

ここで、
●\(\frac{dx}{d(y+)} \)=\(\frac{d(+\sqrt{y})}{d(y)} \)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}\)
●\(\frac{dx}{d(y-)} \)=\(\frac{d(-\sqrt{y})}{d(y)} \)=-\(\frac{1}{\sqrt{2π}}\)
に注意します。

解法

では、実際に解いてみましょう。

1.\(y=x^2\)を\(x=±\sqrt{y}\)の式に直す

これだけ！

2.\(f(x)\)の\(x\)に\(±\sqrt{y}\)をそのまま代入する

\(f(x)\)に代入すると、
\(f(x)\)= \(f(±\sqrt{y})\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{\sqrt{(±y)^2}}{2}}\)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}}\)

3.積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変換

xの範囲からｙの範囲に変えます。

xは-∞⇒∞増加しますが、yはxの2乗なので、0⇒∞と拡大しますね。

積分は、QCプラネッツのオリジナル暗記式を持ってきましょう。
\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)

4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から導出

\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (f(+\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y+)} – f(-\sqrt{y}) \frac{dx}{d(y-)})dy \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} (\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} \frac{1}{2\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} (-\frac{1}{2\sqrt{y}}))dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} \frac{1}{\sqrt{y}}dy\)
=\(\displaystyle \int_{0}^{∞} g(y) dy\)

よって
\(g(y)=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{y}{2}} \frac{1}{\sqrt{y}}\)
できましたね！

計算結果が重要！

(f(x))はN(0,1)の正規分布の式ですが、2乗に変換した
(g(y))は自由度1のχ2乗分布の式になっています。

正規分布とχ2乗分布をつなぐ重要な問いとなります。

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「1変数の確率変数の変換がよくわかる(2次式編)」を解説しました。

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない？」と困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

QCに必要な数学問題集をを販売します！

QC検定®１級、２級、統計検定２級以上の数学スキルを磨くのに苦戦していませんか？　広大すぎる統計学、微分積分からQC・統計に勝てるための６０題に厳選した問題集を紹介します。是非ご購入いただき、勉強してスキルを高めましょう。

‎

①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！

それは、

慣れてきたら、公式を見ましょう。

➁公式見ても理解しにくいから無視していい！

公式（紹介だけ）

確率変数の変換は、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係を理解する上で大事ですが、わかりにくい！

確かに、満点の回答なのですが、

公式が理解できない理由

何度も見ても理解できない理由を挙げると

1. \(f(x)\)と\(g(y)\)の関係が見えない。
2. 単にX⇒Yの変換だからx=をy=に変えるだけとしたいけど、よくわからない公式になっている
3. \(Y=aX+b\)、\(Y=X^2\)、\(Y^2=X\)などの例題が教科書にあるが公式が理解できないから計算しても何をやっているのかがわからない
4. などなど

と、QCプラネッツも何度も諦めていました。

公式から勉強する方法を変えてみる！

でも、発想を変えて

として、QCプラネッツのオリジナルな解法を紹介します。

としましょう。

➂実例を使って理解する！

実際に、QCプラネッツの解き方で例題を理解しましょう。今回は1次式編として、
\(Y=aX+b\)型の変換を考えます。

公式は使いません。なお、1次式の変換の公式は、
\(g(y)=\frac{1}{|a|} f(\frac{y-b}{a})\)
ですが、特に\(\frac{1}{|a|}\)がなぜ必要か？が理解するのが難しいです。

QCプラネッツのオリジナルな解法

解法は以下の通りで実施します。これはどんな1変数の確率変換でも同様の方法でイケます！

1. \(y=ax+b\)を\(x=\frac{y-b}{a}\)の式に直す
2. \(f(x)\)の\(x\)に\(\frac{y-b}{a}\)をそのまま代入する
3. 積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変換
   \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{y_1}^{y_2} f(\frac{y-b}{a}) \frac{dx}{dy} dy \)
4. 確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
   \(g(y)= f(\frac{y-b}{a}) \frac{dx}{dy}\)

\(g(y)\)についての積分の式は、
\( \displaystyle \int_{y_1}^{y_2} g(y)dx \)
なので、この式に合うように、
\(g(y)= f(\frac{y-b}{a}) \frac{dx}{dy}\)
とすればOKですね！

やっていること自体は、高校の数学レベルです。dxをdyに変えるために dx/dy×dyとする方法も大学入試で頻出です！

結局、
\(g(y)= f(\frac{y-b}{a}) \frac{dx}{dy}\)
が、公式
\(g(y)=\frac{1}{|a|} f(\frac{y-b}{a})\)
に一致しますが、

解法

では、実際に解いてみましょう。

1.\(y=ax+b\)を\(x=\frac{y-b}{a}\)の式に直す

\(y=4x+3\)を\(x=\frac{y-3}{4}\)に変えます。これだけ！

2.\(f(x)\)の\(x\)に\(\frac{y-b}{a}\)をそのまま代入する

\(f(x)\)に代入すると、
\(f(x)\)= \(f(\frac{y-3}{4})\)=1-|\(\frac{y-3}{4}\)|

3.積分の式から\(x\)⇒\(y\)に変換

xの範囲からｙの範囲に変えます。

xは-1⇒1と2増加しますが、yは-1⇒7と8増加の4倍拡大しますね。

積分は
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{-1}^{7} f(\frac{y-b}{a}) \frac{dx}{dy} dy \)

さらに、
\(\frac{dx}{dy}\)=\(\frac{1}{4}\)
なので、代入すると、

積分は
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx \) =\(\displaystyle \int_{-1}^{7} f(\frac{y-b}{a}) \frac{1}{4} dy \)

4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から導出

よって、4.確率密度関数\(g(y)\)は(右辺)の積分から
\(g(y)=f(\frac{y-b}{a}) \frac{1}{4}\)
より、
\(g(y)= \frac{1}{4}(1-|\frac{y-3}{4}|)\)

図で比較すると、

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう！

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！

まとめ

「1変数の確率変数の変換がよくわかる(1次式編)」を解説しました。

• ①確率変数の変換は高校数学でほぼイケます！大丈夫！
• ➁公式見ても理解しにくいから無視していい！
• ➂実例を使って理解する！

統計学