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2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=X/Y商の場合)

統計学

「確率変数の変換が、わからない、解けない?」、「t分布、F分布の確率密度関数への導出がわからない」と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=X/Y商の場合)
  • ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
  • ➁ Z=X/Y商の場合(事例1)
  • ➂ Z=X/Y商の場合(事例2)

①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

確率変数の変換は高校数学でほぼイケます!大丈夫!

確率変数の変換は難しいけど、
理解しないと、正規分布、t分布、χ2乗分布、F分布との関係が理解できないから困っている!
確率変数の変換は高校数学でほぼイケます!大丈夫!
1つ条件があります!

それは、

公式暗記より、実演でマスターした方が速い!
1つ解法で解ける解法で、たくさんの例題を見る方がマスターは速い!

慣れてきたら、公式を見ましょう。

2変数の確率変数の変換の基本をマスターする

関連記事に2変数の確率変数の変換の求め方をわかりやすく解説しています。

【まとめ】2変数の確率変数の変換がよくわかる
2変数の確率変数の変換が計算できますか?本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説!教科書よりわかりやすく、 ほぼ高校数学でイケる方法で解説! t分布、F分布の確率密度関数を導出したい方は必読な記事です。

同じ1つの解法でイケますので、ご安心ください。

2変数の確率変数の変換の求め方

1変数の確率変数の変換方法と同様に決まった解法があります。

変数\(x,y\)を変数\(z,w\)に変換するとします。

  1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
  2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
  3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
    \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
  4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
    (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
    を計算する。

ここで、注意点があります。
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

また、\(det J\)は行列式ヤコビアンといいますね。

A=\(\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}\)
のとき、行列式ヤコビアン\(det A\)は、
\(det A=ad-bc\)
で計算できます。

計算力が求められる場合がありますが、基本は高校数学でイケます!

では、実践編に入ります。最初は簡単な式から行きます!

➁ Z=X/Y積の場合(事例1)

QCプラネッツでは、5つの事例を関連記事で紹介していきます。ご確認ください。

  1. 簡単な関数の変換事例
  2. t分布の確率密度関数の導出
  3. F分布の確率密度関数の導出>
  4. 1変数でZ=XY(積)の場合の変換方法
  5. 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

今回は、その5「1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法」です。

1変数の変換については、関連記事でまとめていますが、主にZ=X+Y,Z=X-Yの加減についてでした。

【まとめ】1変数の確率変数の変換がよくわかる
1変数の確率変数の変換が計算できますか?本記事では,理解が難しい公式をそのまま使わずに,高校数学で十分解ける解法を解説します。今回は変換したいパターンをすべてを解説!教科書よりわかりやすく、ほぼ高校数学でイケる方法で解説! 確率変数の変換が計算したい方は必読な記事です。

ただし、乗商については書いていません。なぜなら、

1変数の乗商の変換は2変数の変換の解法の方が解きやすいから

では、解説していきます。2例解説します。

(3) 1変数でZ=X/Y(商)の場合の変換方法

【例題】
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ一様分布U(0,1)に従うとき、確率変数\(Z\)を\(Z=X/Y\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。

やってみましょう。

まず、\(X,Y\)の確率密度関数を定義します。
\(f(x)\)=1 (0 ≤ \(x\) ≤ 1)
\(g(y)\)=1 (0 ≤ \(y\) ≤ 1)

解き方は、

  1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
  2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
  3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
    \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
  4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
    (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
    を計算する。

ですから、1つずつ行きましょう。

(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

\(Z\)=\(X/Y\)、\(W\)=\(Y\)とおく、つまり
\(Z\)=\(X/W\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(zw\)
\(y\)=\(w\)

(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
w & z \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(w・1-0・z\)
=\(w \)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね!

(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
\(f(x(z,w)\)=1, \(g(x(z,w)\)=1に注意して、
=\( 1・1・ w dzdw\)
=\(p(z,w)dzdw\)
=(式1)

結構、スッキリしますね!

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数の範囲が限定されているため、積分区間は場合分けが必要
(0 ≤ \(x\) ≤ 1)
(0 ≤ \(y\) ≤ 1)

変数\(w\)については、以下の3つの場合分けが発生します。

①\( h(z)\)=0 (\(z\) ≤ 0) (積分区間が無い)
➁\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{1} w dw \)=\(\left[\frac{1}{2}w^2 \right]_{0}^{1}\)=\(\frac{1}{2}\)(0 < \(z\) ≤ 1)
➂\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{z} w dw \)=\(\left[\frac{1}{2}w^2 \right]_{0}^{z}\)=\(\frac{1}{2}z^2\)(1 < \(z\))

となります。図で解説します。ただし、\(z=x/y\)であり\(w=y\)で積分するので、\(xy\)の軸が通常と逆にしています。

5-1

1変数の積の変換は2変数の変換から計算できますね!

もう1つ事例を挙げます。次は、指数分布どうしです。

➂ Z=X/Y商の場合(事例2)

(4) 1変数でZ=X/Y商の場合の変換方法

【例題】
2つの確率変数\(X\),\(Y\)が独立で、それぞれ指数分布に従うとき、
\(f(x)=λe^{-λx} \)(0 ≤ \(x\))
\(g(y)=μe^{-μy} \)(0 ≤ \(y\))
確率変数\(Z\)を\(Z=X/Y\)とするときの、確率密度関数\(h(z)\)を求めよ。

やってみましょう。

解き方は、事例1と同じです。

  1. \(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す
  2. \(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する
  3. 2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)は
    \(g(z,w)=f(x(z,w),y(z,w)|det J| \)で求まる。
  4. 実際は\(z,w\)のうち、どちらかは不要な変数なので、片方の変数で積分して、残りの変数についての周囲確率密度関数
    (例えば \(g(z)= \displaystyle \int_{w_1}^{w_2} g(z,w)dw \))
    を計算する。

ですから、1つずつ行きましょう。

(i)\(x=x(z,w),y=(z,w)\)の式を\(z=z(x,y),w=w(x,y)\)の式に直す

ここで、変換する変数を定義します。

\(Z\)=\(X/Y\)、\(W\)=\(Y\)とおく、つまり
\(Z\)=\(X/W\)、\(W\)=\(Y\)とおきます。

\(x=x(z,w),y=y(z,w)\)に直します。
\(x\)=\(zw\)
\(y\)=\(w\)

(ii)\(f(x,y)dxdy\)=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)に変換する

次に、ヤコビ行列から行列式ヤコビアンを求めます。

ヤコビ行列Jは
Jは
J=\(\begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{ \partial z} & \frac{\partial x}{\partial w} \\
\frac{\partial y}{\partial z} & \frac{\partial y}{\partial w}
\end{pmatrix}\)

J=\(\begin{pmatrix}
w & z \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)

次に行列式ヤコビアンは
\(det J\)=\(w・1-0・z \)
=\(w\)
で計算できます。

ここまで大丈夫ですね!

(iii)2変数\(z,w\)の同時確率密度関数\(g(z,w)\)を導出

代入すると、

\(f(x,y)dxdy\)=\(λe^{-λx}・μe^{-μy}\)
=\(f(x(z,w),y(z,w)|det J| dzdw\)
=\(λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w dw\)
=(式1)

よって、2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)は、
\(p(z,w)dzdw\)=\(λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w \)

2変数\(z,w\)に関する同時確率密度関数\(p(z,w)dzdw\)が求まりました。
次に、zについての周囲確率密度関数を求めます。

なぜなら、\(w=y\)であり、\(w\)は不要な変数だから\(w\)で積分します。

ここで、注意なのが、

変数の範囲が限定されているため、積分区間は場合分けが必要
(0 ≤ \(x\))
(0 ≤ \(y\))

変数\(w\)については、以下2つの場合分けが発生します。

●\( h(z)\)=0 (\(w\) ≤ 0) (積分区間が無い)
●\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} (λμe^{-λ(zw)}・e^{-μw} w dw \)

積分すると、
\( h(z)=\displaystyle \int_{0}^{∞} (λμe^{-(λz+μ)w)} w dw \)
=\(\left[-\frac{λμ}{(λz+μ)^2} e^{-(λz+μ)w} \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{λμ}{(λz+μ)^2}\)

計算できました!

伝えたいことは

1変数の積の変換は2変数の変換から計算できますね!

いろいろな関数を使って、確率変数の変換を見て慣れていきましょう!

本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね!

まとめ

「2変数の確率変数の変換がよくわかる(Z=X/Y商の場合)」を解説しました。

  • ①2変数の確率変数の変換の基本をマスターする
  • ➁ Z=X/Y商の場合(事例1)
  • ➂ Z=X/Y商の場合(事例2)


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