月: 2023年6月

★ 本記事のテーマ

正規分布、二項分布、ポアソン分布のグラフがぴったりそろえてみましょう。

さて、正規分布、二項分布、ポアソン分布の
確率密度関数、期待値、分散は答えられますか？

導出もよいですが、初心者は暗記から入ってもOKです。

二項分布、ポアソン分布の期待値と分散は関連記事で丁寧に導出しています。ご覧ください。

【初心者必見！】二項分布の期待値と分散が解ける(高校数学で解ける！) 二項定理の式変形をしっかり演習し、二項分布の期待値、分散を２通りの方法で導出解説！初心者は必読です。

【初心者必見！】ポアソン分布の期待値と分散が解ける(高校数学で解ける！) 本記事では、慣れにくいポアソン分布の式変形をしっかり演習しつつ、ポアソン分布の期待値、分散を導出解説!

下表に結果をまとめます。さっと書き出せるかを確認してください。

ここで、正規分布、二項分布、ポアソン分布の期待値、分散のパラメータをそろえます。つまり、

とパラメータをそろえます。

ここで、(n,p)=(100,0.2)と(n,p)=(1000,0.02)を代入して、３つの分布関数のグラフを描いて比較しましょう。

２つの場合とも、ほぼ３つの分布関数が重なりましたね。n=100の方は数が少ないこともあり、ポアソン分布だけ少しずれますが、n=1000まで増やすとほぼぴったりそろいます。

学問的には、正規分布、二項分布、ポアソン分布は別物ですが、
実務上は同じとして扱ってもよいでしょう。

「【初心者必見！】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる」を解説しました。

★ 本記事のテーマ

正規分布に慣れる良問を持ってきましたので、一緒に解きながら慣れていきましょう！

　理系の高校数学の定期試験問題レベルです。ここは、しっかり解けるようにしましょう。

微分します。
●\(f’(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\(f’’(x)\)=\((-1+x^2 e^{-\frac{x^2}{2}})\)

ここで、極値と変曲点を考えます。
●\(f’(x)\)=0のときは、\(x\)=0 で、
●\(f’’(x)\)=0のときは、\(x\)=±1 なので、
増減表ができますね。

増減表をもとに、概形を描くと下図になります。

高校数学では、あまり\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)の式が出ませんが、特に気にせず、普通に微分積分すれば解けます！

統計学やQCを勉強すると、必ず、正規分布表の読み方などを勉強しますが、
何で、あんな表があるかわかりますか？　この疑問を持つことの方が表の読み方の勉強より大事です！

不定積分が計算できないのに、なぜか定積分は計算できる
変な式です。だから、理解が難しい！

次の例題に行きましょう。

テイラー展開は教科書どおりで、\(x=0\)のまわりで、テイラー展開すると
\(f(x)\)=\(f(0)\)+\(\frac{f^{(1)}(0)}{1!} x^1\)+\(\frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2\)+\(\frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3\)+\(\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4\)+…

どんどん微分しましょう。この微分は良い練習です。是非計算しましょう！
●\( f^{(1)}(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(2)}(x)\)=\((-1+x^2) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(3)}(x)\)=\((-x^3+3x) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(4)}(x)\)=\((x^4-6x^2+3) e^{-\frac{x^2}{2}}\)

より、\(x=0\)を代入して、\(f(x)\)の近似式を計算すると、
●\( f^{(1)}(0)\)=0
●\( f^{(2)}(0)\)=-1
●\( f^{(3)}(0)\)=0
●\( f^{(4)}(0)\)=3
となるので、

近似式の概形と正規分布の概形を描いてみる

近似式は４次関数で高２レベルですね。Excelでグラフを描いてみましょう。

確かに、\(x=0\)付近は２つのグラフは重なっていますね。近似値からでも正規分布の定積分は精度よく求められそうですね。

では、２つの関数の積分を解いてみましょう。

正規分布表から値を読みます。正規分布表の読み方は大丈夫でしょうか？一応解説します。

上表のマーカ部でKp＝1.00の値「0.1587」を見ますが、
これは、\( \displaystyle \int_{1}^{∞}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)の値なので、
0.5-0.1587=0.3413が、求めたい積分値\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)です。

何を言っているかわからない場合は、正規分布の基礎を復習しましょう。関連記事を紹介します。

【簡単】正規分布は怖くない！正規分布表や確率計算の求め方がすぐわかる ｢正規分布とは何か？｣、｢正規分布の難解な式が理解できない｣、｢正規分布表の意味がわからない｣など、よくある困りごとをわかりやすく解説します。

【初心者必見】正規分布の標準化や応用問題は怖くない！必勝解法を解説します。 ｢正規分布の標準化する理由がわからない｣、｢平均μ、分散\(σ^2\)の一般的な正規分布の確率の計算ができない｣など、よくある困りごとをわかりやすく解説します。

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)を計算します。高２レベルです。

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{103}{120}\)=0.3425
となります。この計算もやってみてください。

●正規分布の場合は、0.3413
●近似式の場合は、0.3425
とほぼ一致していますね。差は0.4%!

グラフ見れば、x=0～1の区間は2つのグラフのｙの値はほぼ一致していますね。

「【初心者必見！】正規分布の概形、近似式、定積分が解ける！(高校数学で解ける！)」を解説しました。