「直交表の各列の平方和の導出式の暗記が大変!」「2水準と3水準では直交表の平方和の導出式が違うのはなぜ？！」など、直交表から平方和を求める方法で、疑問に思ったことありませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由に解説した通り、直交表の平方和の導出過程を理解すると、交互作用が複数列必要な理由や直交表が多数のパターンがあることに気づくことができます。
直交表の
- ➀直交表の平方和の導出方法
- ②2水準の直交表の場合
- ③3水準の直交表の場合
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。直交表がより詳しくわかる重要な記事なので、読んでください！
さっそく見ていきましょう。
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➀直交表の平方和の導出方法
- (i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする
- (ii)直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする
- (iii)直交表の平方和の式を導出する
(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする
直交表を使わない、全パターンを実験する、完全配置実験の平方和の式からスタートします。
主効果なら、
$$ S[k]=\frac{\sum (A_i水準の和)^2}{A_iデータ数}-CT $$
交互作用なら、
$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij水}準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT $$
CTは修正項です。
(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする
平方和を導出するために、文字式をいっぱい使います。
直交表で同じ水準数のものを1つに集約します。
例えば、
データ1,2,3,4に対して水準が1,1,2,2とします。\(x_i\) (i=1,2,3,4)とおけます。
水準1のものの和をX1=(x1+x2),水準2の和、X2=(x3+x4)とX1,X2をおきます。
((iii)直交表の平方和の式を導出する
ひたすら計算します。詳細は解説集に載せますが、本記事はポイントだけ解説します。
具体的にやってみましょう。
②2水準の直交表の場合
主効果の平方和の導出
主効果の平方和の場合
$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$
で計算できます。\(T_{[k]i}\)はi水準の和、Nは実験回数です。
2水準で、因子Aの主効果の平方和を導出します。水準1がn個(\(x_1,…,x_n\))、水準2がn個(\(x_{n+1},…,x_{2n}\))あるとします。つまり、N=n2です。
(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする
$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$
は次の式から導出できます。
$$ S[k]=\frac{\sum (A_i水準の和)^2}{A_iデータ数}-CT $$
(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする
\(S[k]=\frac{(x_1+x_2+…+x_n)^2}{n}\)+\(\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+…+x_{2n})^2}{n}\)-\(\frac{(x_1+…+x_{2n})^2}{2n}\)
=\(\frac{X_1^2}{n}\)+\(\frac{X_2^2}{n}\)-\(\frac{(X_1+X_2)^2}{2n}\)
と変形できます。
(iii)直交表の平方和の式を導出する
さらに、
\(S[k]\)=\(\frac{(X_1-X_2)^2}{2n}\)
=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}\)
となります。(一回、手で解いてみて確認してください)
交互作用の平方和の導出
交互作用の平方和の場合
$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$
で計算できます。\(T_{[k]i}\)のiでi=1なら11,i=2なら22です。Nは実験回数です。
(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする
$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$
は次の式から導出できます。
$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT-S_A-S_B $$
| データ | A | B | A×B | データ | データ和 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | \(x_{111}\) | \(X_{11}\) |
| … | … | … | … | … | |
| n | 1 | 1 | 1 | \(x_{11n}\) | |
| n+1 | 1 | 2 | 2 | \(x_{121}\) | \(X_{12}\) |
| … | … | … | … | … | |
| 2n | 1 | 2 | 2 | \(x_{12n}\) | |
| 2n+1 | 2 | 1 | 2 | \(x_{211}\) | \(X_{21}\) |
| … | … | … | … | … | |
| 3n | 2 | 1 | 2 | \(x_{21n}\) | |
| 3n+1 | 2 | 2 | 1 | \(x_{221}\) | \(X_{22}\) |
| … | … | … | … | … | |
| 4n | 2 | 2 | 1 | \(x_{22n}\) |
$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$
は次の式から導出できます。
$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT –S_A-S_B$$
(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする
$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT $$
上の式の第１項\(\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}\)は、
(A)第１項=\(\frac{X_{11}^2+X_{12}^2+X_{21}^2+X_{22}^2}{n}\)
(B)CT=\(\frac{(X_{11}+X_{12}+X_{21}+X_{22})^2}{4n}\)
(C)\(S_A\)=\(\frac{(X_{11}+X_{12})^2-(X_{21}+X_{22})^2}{4n}\)
(D)\(S_B\)=\(\frac{(X_{11}+X_{21})^2-(X_{12}+X_{22})^2}{4n}\)
と書けます。
(iii)直交表の平方和の式を導出する
(A)-(B)-(C)-(D)をがんばって展開してまとめます。
(A)-(B)-(C)-(D)=\(\frac{(X_{11}+X_{22})^2-(X_{12}+X_{21})^2}{4n}\)
交互作用A×Bの1水準の和と2水準の和の差になります。最初の式と一致しますね。
$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$
下の、演習問題を解いて、上の解説の途中過程を導出してください。実力アップできます。
(1) 因子Aの主効果
(2) 交互作用A×B
(3) 残差e(交互作用A×B×Cと交絡)
(詳細は解説集にあります。)
③3水準の直交表の場合
主効果の平方和の導出
主効果の平方和の場合
$$ S[k]=\frac{((T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2)}{3N}$$
で計算できます。\(T_{[k]i}\)はi水準の和、3Nは実験回数です。
3水準で、因子Aの主効果の平方和を導出します。水準1がn個(\(x_1,…,x_n\))、水準2がn個(\(x_{n+1},…,x_{2n}\)),水準3がn個(\(x_{2n+1},…,x_{3n}\))あるとします。つまり、N=n3です。
(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする
$$ S[k]=\frac{((T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2)}{3N}$$
は次の式から導出できます。
$$ S[k]=\frac{\sum (A_i水準の和)^2}{A_iデータ数}-CT $$
2水準の主効果と同じ式です。
(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする
\(S[k]=\frac{(x_1+x_2+…+x_n)^2}{n}\)+\(\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+…+x_{2n})^2}{n}\)+\(\frac{(x_{2n+1}+x_{2n+2}+…+x_{3n})^2}{n}\)-\(\frac{(x_1+…+x_{3n})^2}{3n}\)
=\(\frac{X_1^2}{n}\)+\(\frac{X_2^2}{n}\)+\(\frac{X_3^2}{n}\)-\(\frac{(X_1+X_2+X_3)^2}{3n}\)
と変形できます。
(iii)直交表の平方和の式を導出する
さらに、
\(S_[k]\)=\(\frac{(X_1-X_2)^2+(X_2-X_3)^2+(X_3-X_1)^2+}{3n}\)
$$ S[k]=\frac{((T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2)}{3N}$$
となります。(一回、手で解いてみて確認してください)
交互作用の平方和の導出
(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする
は次の式から導出できます。
$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT-S_A-S_B $$
(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする
表にまとめます。
| データ | A | B | A×B | データ | データ和 |
| 1～n | 1 | 1 | 1 | \(x_1\),…,\(x_n\) | \(X_1\) |
| n+1～2n | 1 | 2 | 2 | \(x_{n+1}\),…,\(x_{2n}\) | \(X_2\) |
| 2n+1～3n | 1 | 3 | 3 | \(x_{2n+1}\),…,\(x_{3n}\) | \(X_3\) |
| 3n+1～4n | 2 | 1 | 2 | \(x_{3n+1}\),…,\(x_{4n}\) | \(X_4\) |
| 4n+1～5n | 2 | 2 | 3 | \(x_{4n+1}\),…,\(x_{5n}\) | \(X_5\) |
| 5n+1～6n | 2 | 3 | 1 | \(x_{5n+1}\),…,\(x_{6n}\) | \(X_6\) |
| 6n+1～7n | 3 | 1 | 3 | \(x_{6n+1}\),…,\(x_{7n}\) | \(X_7\) |
| 7n+1～8n | 3 | 2 | 1 | \(x_{7n+1}\),…,\(x_{8n}\) | \(X_8\) |
| 8n+1～9n | 3 | 3 | 2 | \(x_{8n+1}\),…,\(x_{9n}\) | \(X_9\) |
$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT $$
(A)第１項=\(\frac{X_1^2+X_2^2+…+X_9^2}{n}\)
(B)CT=\(\frac{(X_1+X_2+…+X_9)^2}{9n}\)
(C)\(S_A\)=\(\frac{((X_1+X_2+X_3)-(X_4+X_5+X_6))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_4+X_5+X_6)-(X_7+X_8+X_9))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_7+X_8+X_9)-(X_1+X_2+X_3))^2}{9n}\)
(D)\(S_B\)=\(\frac{((X_1+X_4+X_7)-(X_2+X_5+X_8))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_2+X_5+X_8)-(X_3+X_6+X_9))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_3+X_6+X_9)-(X_1+X_4+X_7))^2}{9n}\)
と書けます。
(iii)直交表の平方和の式を導出する
(A)-(B)-(C)-(D)をがんばって展開してまとめます。
(A)-(B)-(C)-(D)
=\(\frac{((X_1+X_6+X_8)-(X_2+X_4+X_9))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_2+X_4+X_9)-(X_3+X_5+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_3+X_5+X_7)-(X_1+X_6+X_8))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_1+X_5+X_9)-(X_2+X_6+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_2+X_6+X_7)-(X_3+X_4+X_8))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_3+X_4+X_8)-( X_1+X_5+X_9))^2}{9n}\)
または、
=\(\frac{((X_1+X_6+X_8)-(X_2+X_4+X_9))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_2+X_4+X_9)-(X_3+X_5+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_3+X_5+X_7)-(X_1+X_6+X_8))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_1+X_5+X_9)-(X_3+X_4+X_8))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_3+X_4+X_8)-(X_2+X_6+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_2+X_6+X_7)-( X_1+X_5+X_9))^2}{9n}\)
と2通りまとめることができます。
実は上の式は \(S_{ab}+S_{2ab}\)と\(S_{ab}+S_{a2b}\)の2通りであることがわかります。
- 2因子の交互作用の平方和から、直交表2列が必要とわかる
- 2因子の交互作用の平方和は、2通りの表現ができ、直交表が複数種類があるとわかる
結構、重要なエッセンスです。
下の、演習問題を解いて、上の解説の途中過程を導出してください。実力アップできます。
(1) 因子Aの主効果
(2) 交互作用A×B
(詳細は解説集にあります。)
まとめ
直交表の各列の平方和の導出方法を解説しました。
- ➀直交表の平方和の導出方法
- ②2水準の直交表の場合
- ③3水準の直交表の場合
