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【本記事限定】直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる【必見】

実験計画法

「直交表の各列の平方和の導出式の暗記が大変!」「2水準と3水準では直交表の平方和の導出式が違うのはなぜ?!」など、直交表から平方和を求める方法で、疑問に思ったことありませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

直交表の各列の平方和の式は自力で導出できる

に解説した通り、直交表の平方和の導出過程を理解すると、交互作用が複数列必要な理由や直交表が多数のパターンがあることに気づくことができます。

直交表の

  • ➀直交表の平方和の導出方法
  • ②2水準の直交表の場合
  • ③3水準の直交表の場合

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定1級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。直交表がより詳しくわかる重要な記事なので、読んでください!

さっそく見ていきましょう。

➀直交表の平方和の導出方法

  • (i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする
  • (ii)直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする
  • (iii)直交表の平方和の式を導出する

(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする

直交表を使わない、全パターンを実験する、完全配置実験の平方和の式からスタートします。

主効果なら、

$$ S[k]=\frac{\sum (A_i水準の和)^2}{A_iデータ数}-CT $$

交互作用なら、

$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij水}準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT $$

CTは修正項です。

(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする

平方和を導出するために、文字式をいっぱい使います。
直交表で同じ水準数のものを1つに集約します。

例えば、
データ1,2,3,4に対して水準が1,1,2,2とします。\(x_i\) (i=1,2,3,4)とおけます。
水準1のものの和をX1=(x1+x2),水準2の和、X2=(x3+x4)とX1,X2をおきます。

((iii)直交表の平方和の式を導出する

ひたすら計算します。詳細は解説集に載せますが、本記事はポイントだけ解説します。

具体的にやってみましょう。

②2水準の直交表の場合

主効果の平方和の導出

主効果の平方和の場合

$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$

で計算できます。\(T_{[k]i}\)はi水準の和、Nは実験回数です。

2水準で、因子Aの主効果の平方和を導出します。水準1がn個(\(x_1,…,x_n\))、水準2がn個(\(x_{n+1},…,x_{2n}\))あるとします。つまり、N=n2です。

(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする

$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$

は次の式から導出できます。

$$ S[k]=\frac{\sum (A_i水準の和)^2}{A_iデータ数}-CT $$

(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする

\(S[k]=\frac{(x_1+x_2+…+x_n)^2}{n}\)+\(\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+…+x_{2n})^2}{n}\)-\(\frac{(x_1+…+x_{2n})^2}{2n}\)
=\(\frac{X_1^2}{n}\)+\(\frac{X_2^2}{n}\)-\(\frac{(X_1+X_2)^2}{2n}\)
と変形できます。

(iii)直交表の平方和の式を導出する

さらに、
\(S[k]\)=\(\frac{(X_1-X_2)^2}{2n}\)
=\(\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}\)
となります。(一回、手で解いてみて確認してください)

交互作用の平方和の導出

交互作用の平方和の場合

$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$

で計算できます。\(T_{[k]i}\)のiでi=1なら11,i=2なら22です。Nは実験回数です。

(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする

$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$

は次の式から導出できます。

$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT-S_A-S_B $$

データ A B A×B データ データ和
1 1 1 1 \(x_{111}\) \(X_{11}\)
n 1 1 1 \(x_{11n}\)
n+1 1 2 2 \(x_{121}\) \(X_{12}\)
2n 1 2 2 \(x_{12n}\)
2n+1 2 1 2 \(x_{211}\) \(X_{21}\)
3n 2 1 2 \(x_{21n}\)
3n+1 2 2 1 \(x_{221}\) \(X_{22}\)
4n 2 2 1 \(x_{22n}\)

$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$

は次の式から導出できます。

$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT –S_A-S_B$$

(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする

$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT $$

上の式の第1項\(\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}\)は、

(A)第1項=\(\frac{X_{11}^2+X_{12}^2+X_{21}^2+X_{22}^2}{n}\)

(B)CT=\(\frac{(X_{11}+X_{12}+X_{21}+X_{22})^2}{4n}\)

(C)\(S_A\)=\(\frac{(X_{11}+X_{12})^2-(X_{21}+X_{22})^2}{4n}\)

(D)\(S_B\)=\(\frac{(X_{11}+X_{21})^2-(X_{12}+X_{22})^2}{4n}\)

と書けます。

(iii)直交表の平方和の式を導出する

(A)-(B)-(C)-(D)をがんばって展開してまとめます。

(A)-(B)-(C)-(D)=\(\frac{(X_{11}+X_{22})^2-(X_{12}+X_{21})^2}{4n}\)

交互作用A×Bの1水準の和と2水準の和の差になります。最初の式と一致しますね。

$$ S[k]=\frac{(T_{[k]1}-T_{[k]2})^2}{N}$$

下の、演習問題を解いて、上の解説の途中過程を導出してください。実力アップできます。

問:2水準の直交表の各列の平方和の式を導出せよ。
(1) 因子Aの主効果
(2) 交互作用A×B
(3) 残差e(交互作用A×B×Cと交絡)
(詳細は解説集にあります。)

③3水準の直交表の場合

主効果の平方和の導出

主効果の平方和の場合

$$ S[k]=\frac{((T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2)}{3N}$$

で計算できます。\(T_{[k]i}\)はi水準の和、3Nは実験回数です。

3水準で、因子Aの主効果の平方和を導出します。水準1がn個(\(x_1,…,x_n\))、水準2がn個(\(x_{n+1},…,x_{2n}\)),水準3がn個(\(x_{2n+1},…,x_{3n}\))あるとします。つまり、N=n3です。

(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする

$$ S[k]=\frac{((T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2)}{3N}$$

は次の式から導出できます。

$$ S[k]=\frac{\sum (A_i水準の和)^2}{A_iデータ数}-CT $$

2水準の主効果と同じ式です。

(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする

\(S[k]=\frac{(x_1+x_2+…+x_n)^2}{n}\)+\(\frac{(x_{n+1}+x_{n+2}+…+x_{2n})^2}{n}\)+\(\frac{(x_{2n+1}+x_{2n+2}+…+x_{3n})^2}{n}\)-\(\frac{(x_1+…+x_{3n})^2}{3n}\)
=\(\frac{X_1^2}{n}\)+\(\frac{X_2^2}{n}\)+\(\frac{X_3^2}{n}\)-\(\frac{(X_1+X_2+X_3)^2}{3n}\)
と変形できます。

(iii)直交表の平方和の式を導出する

さらに、
\(S_[k]\)=\(\frac{(X_1-X_2)^2+(X_2-X_3)^2+(X_3-X_1)^2+}{3n}\)
$$ S[k]=\frac{((T_{[k]1}-T_{[k]2})^2+(T_{[k]2}-T_{[k]3})^2+(T_{[k]3}-T_{[k]1})^2)}{3N}$$
となります。(一回、手で解いてみて確認してください)

交互作用の平方和の導出

(i)完全配置実験の主効果・交互作用の平方和の導出式からスタートする

は次の式から導出できます。

$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT-S_A-S_B $$

(ii) 直交表で同じ水準数の和を1つの文字式にする

表にまとめます。

データ A B A×B データ データ和
1~n 1 1 1 \(x_1\),…,\(x_n\) \(X_1\)
n+1~2n 1 2 2 \(x_{n+1}\),…,\(x_{2n}\) \(X_2\)
2n+1~3n 1 3 3 \(x_{2n+1}\),…,\(x_{3n}\) \(X_3\)
3n+1~4n 2 1 2 \(x_{3n+1}\),…,\(x_{4n}\) \(X_4\)
4n+1~5n 2 2 3 \(x_{4n+1}\),…,\(x_{5n}\) \(X_5\)
5n+1~6n 2 3 1 \(x_{5n+1}\),…,\(x_{6n}\) \(X_6\)
6n+1~7n 3 1 3 \(x_{6n+1}\),…,\(x_{7n}\) \(X_7\)
7n+1~8n 3 2 1 \(x_{7n+1}\),…,\(x_{8n}\) \(X_8\)
8n+1~9n 3 3 2 \(x_{8n+1}\),…,\(x_{9n}\) \(X_9\)

$$ S[k]=\frac{\sum (AB_{ij}水準の和)^2}{AB_{ij}データ数}-CT $$

(A)第1項=\(\frac{X_1^2+X_2^2+…+X_9^2}{n}\)

(B)CT=\(\frac{(X_1+X_2+…+X_9)^2}{9n}\)

(C)\(S_A\)=\(\frac{((X_1+X_2+X_3)-(X_4+X_5+X_6))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_4+X_5+X_6)-(X_7+X_8+X_9))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_7+X_8+X_9)-(X_1+X_2+X_3))^2}{9n}\)

(D)\(S_B\)=\(\frac{((X_1+X_4+X_7)-(X_2+X_5+X_8))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_2+X_5+X_8)-(X_3+X_6+X_9))^2}{9n}\)+\(\frac{((X_3+X_6+X_9)-(X_1+X_4+X_7))^2}{9n}\)

と書けます。

(iii)直交表の平方和の式を導出する

(A)-(B)-(C)-(D)をがんばって展開してまとめます。

(A)-(B)-(C)-(D)
=\(\frac{((X_1+X_6+X_8)-(X_2+X_4+X_9))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_2+X_4+X_9)-(X_3+X_5+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_3+X_5+X_7)-(X_1+X_6+X_8))^2}{9n}\)

+\(\frac{((X_1+X_5+X_9)-(X_2+X_6+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_2+X_6+X_7)-(X_3+X_4+X_8))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_3+X_4+X_8)-( X_1+X_5+X_9))^2}{9n}\)
または、
=\(\frac{((X_1+X_6+X_8)-(X_2+X_4+X_9))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_2+X_4+X_9)-(X_3+X_5+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{((X_3+X_5+X_7)-(X_1+X_6+X_8))^2}{9n}\)

+\(\frac{((X_1+X_5+X_9)-(X_3+X_4+X_8))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_3+X_4+X_8)-(X_2+X_6+X_7))^2}{9n}\)
+\(\frac{(( X_2+X_6+X_7)-( X_1+X_5+X_9))^2}{9n}\)
と2通りまとめることができます。

実は上の式は \(S_{ab}+S_{2ab}\)と\(S_{ab}+S_{a2b}\)の2通りであることがわかります。

  • 2因子の交互作用の平方和から、直交表2列が必要とわかる
  • 2因子の交互作用の平方和は、2通りの表現ができ、直交表が複数種類があるとわかる

結構、重要なエッセンスです。

下の、演習問題を解いて、上の解説の途中過程を導出してください。実力アップできます。

問:3水準の直交表の各列の平方和の式を導出せよ。
(1) 因子Aの主効果
(2) 交互作用A×B
(詳細は解説集にあります。)

まとめ

直交表の各列の平方和の導出方法を解説しました。

  • ➀直交表の平方和の導出方法
  • ②2水準の直交表の場合
  • ③3水準の直交表の場合


Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119

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