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二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】

実験計画法

「平方和がなぜ分解できるのかがわからない、解けない」、「主効果、交互作用、残差の各値が計算できない」、「主効果、交互作用、残差の和が0になる理由がわからない」、など、実験計画法や分散分析に不慣れで困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解ができる【初心者必見】

二元配置実験(交互作用有り)の平方和の分解

  • ①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる
  • ②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
  • ③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®1級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。

本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ?と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます!

●商標使用について、
①QC検定®と品質管理検定®は、一般財団法人日本規格協会の登録商標です。
➁このコンテンツは、一般財団法人日本規格協会の承認や推奨、その他の検討を受けたものではありません。
➂QCプラネッツは、QC検定®と品質管理検定®の商標使用許可を受けています。

①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる

データの構造式

二因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。

二元配置実験(交互作用有り)のデータの構造式

xijk=μ+αij+(αβ)ij+eijk

二元配置実験をデータ分解する

因子と水準の違いは説明できますか?
関連記事に解説していますが、
一言でいうと次の通りです。

【簡単】因子と水準の違い

因子は変数の種類
水準はレベル(英語にするとわかりやすい)

二元配置実験(交互作用有り)のデータを用意します。

xijk
B1 B2 B3 B4
A1 11 4 19 19
5 14 7 1
A2 3 21 15 31
13 9 23 21
A3 24 15 46 54
10 33 34 48

データの分解方法

  1. 全体の平均μを求める
  2. 主効果\(α_i\)、\(β_j\)の各値を求める
  3. 交互作用\((αβ)_{ij}\)の各値を求める
  4. 残差\(e_{ijk}\)は残りの値

計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。

(i)全体の平均μを求める。
μ=合計/個数=480/24=20

xijk
B1 B2 B3 B4
A1 11 4 19 19
5 14 7 1
A2 3 21 15 31
13 9 23 21
A3 24 15 46 54
10 33 34 48

(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+4+19+19+5+14+7+1}{8}\)-20=-10
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{3+21+15+31+13+9+23+21}{8}\)-20=-3
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{24+15+46+54+10+33+34+48}{8}\)-20=13

αi
B1 B2 B3 B4
A1 -10
A2 -3
A3 13

(ii)主効果\(β_j\)の各値(j=1,2,3,4)を求める
\(β_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{11+5+3+13+24+10}{6}\)-20=-9
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{4+14+21+9+15+33}{6}\)-20=-4
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{19+7+15+23+46+34}{6}\)-20=4
\(α_4\)=(水準4の平均)―μ=\(\frac{19+1+31+21+54+48}{6}\)-20=9

βj
B1 B2 B3 B4
A1 -9 -4 4 9
A2
A3

(iii)交互作用\((αβ)_{ij}\)の各値を求める

\((αβ)_{11}\)~\((αβ)_{34}\)の全12種類を計算します。
\(αβ_{11}\)=(AB11の平均)―μ―α1―β1=\(\frac{11+5}{2}\)-20-(-10)-(-9)=7
\(αβ_{12}\)=(AB12の平均)―μ―α1―β2=\(\frac{4+14}{2}\)-20-(-10)-(-4)=3

\(αβ_{14}\)=(AB14の平均)―μ―α1―β4=\(\frac{19+1}{2}\)-20-(-10)-9=-9

\(αβ_{34}\)=(AB34の平均)―μ―α3―β4=\(\frac{54+48}{2}\)-20-13-9=9
ちょっとややこしい計算ですが、
SA×B=SAB– SA– SB
と連想すれば計算式が理解しやすいですね。

(αβ)ij
B1 B2 B3 B4
A1 7 3 -1 -9
A2 0 2 -2 0
A3 -7 -5 3 9

(iv) 残差\(e_{ijk}\)は残りの値

\(ε_{ijk}\)=\(x_{ijk}\)-μ-\(α_i\)-\(β_j\)-\((αβ)_{ij}\)
例えばi=2,j=3,k=2としましょう。
\(ε_{232}\)=\(x_{232}\)-μ-\(α_2\)-\(β_3\)-\((αβ)_{23}\)
=23-20-(-3)-4-(-2)=4
これをすべてのijkについて計算します。

εijk
B1 B2 B3 B4
A1 3 -5 6 9
-3 5 -6 -9
A2 -5 6 -4 5
5 -6 4 -5
A3 7 -9 6 3
-7 9 -6 -3

まとめると次のようにデータが分解できます。

データの分解のまとめ

xijk
B1 B2 B3 B4
A1 11 4 19 19
5 14 7 1
A2 3 21 15 31
13 9 23 21
A3 24 15 46 54
10 33 34 48

=

μ
B1 B2 B3 B4
A1 20
A2
A3

+

αi
B1 B2 B3 B4
A1 -10
A2 -3
A3 13

+

βj
B1 B2 B3 B4
A1 -9 -4 4 9
A2
A3

+

(αβ)ij
B1 B2 B3 B4
A1 7 3 -1 -9
A2 0 2 -2 0
A3 -7 -5 3 9

+

εijk
B1 B2 B3 B4
A1 3 -5 6 9
-3 5 -6 -9
A2 -5 6 -4 5
5 -6 4 -5
A3 7 -9 6 3
-7 9 -6 -3

②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる

データの構造式
xijk=μ+ αij+(αβ)ij+eijk
の、各i,j,kに対する値について、表を使って計算しました。

次に平方和を導出しましょう。

平方和の分解を導出

データの構造式
xijk=μ+ αij+(αβ)ij+eijk

xijk-μ=αij+(αβ)ij+eijk
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjΣkをつけます。

\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ijk})^2\)

右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
+2\((α_i β_j+α_i (αβ)_{ij}+α_i e_{ijk}+β_j (αβ)_{ij} +β_j e_{ijk} +(αβ)_{ij} e_{ijk})\)

ここで、(右辺の) 2乗項以外の中間項の和はすべて0になるため、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
となります。中間項の和が0になることを後で1つずつ数値をいれて計算して確かめましょう。

まとめると、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}( x_{ijk}-μ)^2\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)\((α_i^2+β_j^2+(αβ)_{ij}^2+e_{ijk}^2)\)
これが、
ST= SA+ SB+ SA×B+ Se
となり、平方和の分解ができるのです。

2乗項以外の中間項の和はすべて0になる性質があるため、
平方和は分解できるのです。
でも、慣れないうちは難解なので、
次の表を使って平方和の分解ができることを理解しましょう。

データの分解した表から平方和の分解を導出

データの構造式
xijk=μ+ αij+(αβ)ijeijk
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

すべての値を2乗しましょう。

xijk
B1 B2 B3 B4
A1 121 16 361 361
25 196 49 1
A2 9 441 225 961
169 81 529 441
A3 576 225 2116 2916
100 1089 1156 2304
14468

μ
B1 B2 B3 B4
A1 400 400 400 400
400 400 400 400
A2 400 400 400 400
400 400 400 400
A3 400 400 400 400
400 400 400 400
9600

αi
B1 B2 B3 B4
A1 100 100 100 100
100 100 100 100
A2 9 9 9 9
9 9 9 9
A3 169 169 169 169
169 169 169 169
2224

βj
B1 B2 B3 B4
A1 81 16 16 81
81 16 16 81
A2 81 16 16 81
81 16 16 81
A3 81 16 16 81
81 16 16 81
1164

(αβ)ij
B1 B2 B3 B4
A1 49 9 1 81
49 9 1 81
A2 0 4 4 0
0 4 4 0
A3 49 25 9 81
49 25 9 81
624

εijk
B1 B2 B3 B4
A1 9 25 36 81
9 25 36 81
A2 25 36 16 25
25 36 16 25
A3 49 81 36 9
49 81 36 9
856

表の和をまとめると、
14468=9600+2224+1164+624+856
と一致します。あら、不思議!

実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
ST14468-9600=4868
SA=2224
SB=1164
SA×B=624
Se=856
となります。

表から中間項の和が0になることを確認

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i β_j\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i (αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}α_i e_{ijk}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j (αβ)_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}β_j e_{ijk} \)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
となります。式変形で証明しても良いですが、慣れないうちは、具体的に計算して確認しましょう。

6つ紹介するとくどいので、1つだけ代表例をみましょう。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}(αβ)_{ij} e_{ijk}\)=0
をやってみましょう。

(αβ)ij
B1 B2 B3 B4
A1 7 3 -1 -9
A2 0 2 -2 0
A3 -7 -5 3 9

×

εijk
B1 B2 B3 B4
A1 3 -5 6 9
-3 5 -6 -9
A2 -5 6 -4 5
5 -6 4 -5
A3 7 -9 6 3
-7 9 -6 -3

=

(αβ)ij×εijk
B1 B2 B3 B4
A1 21 -15 -6 -81 0
-21 15 6 81
A2 0 12 8 0 0
0 -12 -8 0
A3 -49 45 18 27 0
49 -45 -18 -27
0 0 0 0 0

黄色枠のとおり、合計は0になります。

③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

数式から理由を理解する

【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由

データxijkの合計と、平均μの総和は同じだから。
その他の主効果、交互作用、残差の和は0になるのは当然!

データの構造式
xijk=μ+ αij+(αβ)ij+ eijk
から、両辺に和をとります。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}x_{ijk}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}μ\)=abcμ
より、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αij+(αβ)ij+ eijk
=0
で、α,β、εは独立した関係なので、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αi=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)βj=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)(αβ)ij=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\) eijk=0

となります。

データの分解した表から理由を理解する

表でも確認しましょう。

主効果αi

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αi=0
を確認します。

αi
B1 B2 B3 B4
A1 -10 0
A2 -3
A3 13

主効果βj

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)βj=0

を確認します。

βj
B1 B2 B3 B4
A1 -9 -4 4 9 0
A2
A3

交互作用αβij

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)αi=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\)(αβ)ij=0
\(\sum_{j=1}^{b}\)(αβ)ij=0
が成り立つことを確認します。

(αβ)ij
B1 B2 B3 B4
A1 7 3 -1 -9 0
A2 0 2 -2 0 0
A3 -7 -5 3 9 0
0 0 0 0 0

残差eij

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)eijk=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c}\)eijk=0
\(\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\)eijk=0
が成り立つことを確認します。

εijk
B1 B2 B3 B4
A1 3 -5 6 9 0
-3 5 -6 -9
A2 -5 6 -4 5 0
5 -6 4 -5
A3 7 -9 6 3 0
-7 9 -6 -3
0 0 0 0 0

公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。

問:
次のデータから成る三元配置実験において、データの分解と平方和の分解をせよ。

C1 C2 C3 C4
A1 B1 10 11 15 18
12 14 16 19
B2 13 19 16 20
14 22 17 22
B3 15 16 20 23
16 17 21 24
A2 B1 11 13 13 14
12 14 15 15
B2 14 20 17 21
15 23 18 23
B3 17 15 20 13
19 16 21 15

(詳細は解説集にあります。)

まとめ

二元配置実験の平方和の分解を詳細に解説しました。

  • ①二元配置実験(交互作用有り)のデータの分解方法がわかる
  • ②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
  • ③二元配置実験(交互作用有り)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる


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