【まとめ9】実験計画法を究める演習問題集を販売します
「まとめ1から8まで読んだけど、内容がマスターできる問題集はないの？」、など、疑問に思いませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
実験計画法を究める演習問題集を販売します
- ①演習問題集でマスターしてほしいポイント
- ②実験計画法とは何か？のまとめ
- ③演習問題を公開します
- ④購入方法
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。
①演習問題集でマスターしてほしいポイント
教科書、参考書の問題点
各手法それぞれの解法を解説しているため、それぞれ出て来る公式の暗記が必要。
実験計画法とは何かを？頭でまとめることができないため、本質を理解できないまま時間とともに忘れていく。
実験計画法とは何かを？頭でまとめることができないため、本質を理解できないまま時間とともに忘れていく。
下表にまとめます。
| データの 構造式 |
平方和 の導出 |
分散分析 | 点推定 | 区間推定 | |||||
| 一元配置実験 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 二元配置実験 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 三元配置実験 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 乱塊法 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 分割法 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 直交表 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 多水準法 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 擬水準法 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 直交表+分割法 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| 枝分かれ実験 | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
| ・・・ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ | ⇒ |
表からわかることは、横方向だけしか見ておらず、縦方向（各手法間の関係）を全く見ていません。実験計画法を頭の中で整理したり、まとめりすることができなくしています。
QCプラネッツの考え方
手法によらず、１つの考え方・解き方で実験計画法をマスターできるようにまとめる。
下表にまとめます。
| データの 構造式 |
平方和 の導出 |
分散分析 | 点推定 | 区間推定 | |||||
| 一元配置実験 | ⇕ | ⇒ | ⇕ | ⇒ | ⇕ | ⇒ | ⇕ | ⇒ | ⇕ |
| 二元配置実験 | |||||||||
| 三元配置実験 | |||||||||
| 乱塊法 | |||||||||
| 分割法 | |||||||||
| 直交表 | |||||||||
| 多水準法 | |||||||||
| 擬水準法 | |||||||||
| 直交表+分割法 | |||||||||
| 枝分かれ実験 | |||||||||
| ・・・ |
②実験計画法とは何か？のまとめ
上表でQCプラネッツのまとめ方を紹介しました。実験計画法の勉強方法をまとめます。
- 実験計画法とは、調べたい効果がデータの影響を与えているかを調べるもの
- 実験計画法の中心は、データの構造式であること
- さまざまな手法は、データの構造式の一部の項が変化したに過ぎない
- 自由度、分散分析、分散の期待値E[V]、区間推定、有効繰返し数はすべてデータの構造式から導出できる
この考えで、ブログも演習問題集も作成しています。
日本中の実験計画法の教科書・参考書を読破して達した結論です。
データサイエンスの時代に実験計画法は古臭いですが、実験計画法の理論や本質はしっかりおさえておく必要があります。
③演習問題を公開します
47題、全110ページ！
少ない？
大学の問題１題は解くのに数時間かかるので、十分なボリュームです！
本当は100題にしたかったのですが、内容を凝縮して50問程度にまとめました。
少ない？
大学の問題１題は解くのに数時間かかるので、十分なボリュームです！
本当は100題にしたかったのですが、内容を凝縮して50問程度にまとめました。
【1】帰無仮説と対立仮説について
次の実験計画法における帰無仮説と対立仮説を明示せよ。
３因子(A(α),B(β),C(γ))からなる三元配置実験で、データ構造式を、
\(x_{ijk}=μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{ik}\)+\(ε_{ijk}\)
で定義した場合。
３因子(A(α),B(β),C(γ))からなり、因子Ｃは反復を意味する変量因子とし、因子Ａ,Cを一次単位、因子Bを二次単位とする3因子,2分割の分割法を用いた場合で、データの構造式を、
\(x_{ijk}=μ+γ_k+α_i+ε_{(1)ik}\)+\(β_j+ (αβ)_{ij}+ε_{(2)ijk}\)
で定義した場合。
次の実験計画法における帰無仮説と対立仮説を明示せよ。
３因子(A(α),B(β),C(γ))からなる三元配置実験で、データ構造式を、
\(x_{ijk}=μ+α_i+β_j+γ_k\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{ik}\)+\(ε_{ijk}\)
で定義した場合。
３因子(A(α),B(β),C(γ))からなり、因子Ｃは反復を意味する変量因子とし、因子Ａ,Cを一次単位、因子Bを二次単位とする3因子,2分割の分割法を用いた場合で、データの構造式を、
\(x_{ijk}=μ+γ_k+α_i+ε_{(1)ik}\)+\(β_j+ (αβ)_{ij}+ε_{(2)ijk}\)
で定義した場合。
実験計画法で手薄になりがちな検定の仮説をきちっとおさえましょう。
【2】多元配置実験と直交表とラテン方格法の比較
3因子A,B,Cで計27回の実験を行った。以下の方法で分散分析せよ。
27回のデータを使って三元配置実験として分散分析する場合。
直交表L27(313)を使った場合。
ラテン方格法を使い、9回の実験を実施する場合。
3因子A,B,Cで計27回の実験を行った。以下の方法で分散分析せよ。
27回のデータを使って三元配置実験として分散分析する場合。
直交表L27(313)を使った場合。
ラテン方格法を使い、9回の実験を実施する場合。
それぞれの手法による結果の違いを確認します。なお、(1)(2)は同じ結果になるとすぐに気づいてほしいです。
【3】データの構造式の立式
次の実験計画におけるデータの構造式を立てよ。
(1)4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))を使って実験計画を立てる。2水準系直交表L16にすべての主効果、交互作用、残差eを割当てた場合。
(2) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Dを反復因子(変量因子)とし、分割法を適用する。一次単位は因子AとD、二次単位は因子B、三次単位は因子Cとする。変量因子との交互作用だけ個々の単位の残差にプーリングする。
(3) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Dを反復因子(変量因子)とし、2方分割法を適用する。
一次単位に因子A,Bを割り当てるが、それぞれ2方に分ける。交互作用Ａ×Ｂは二次単位、因子Ｃは二次単位とする。
次の実験計画におけるデータの構造式を立てよ。
(1)4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))を使って実験計画を立てる。2水準系直交表L16にすべての主効果、交互作用、残差eを割当てた場合。
(2) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Dを反復因子(変量因子)とし、分割法を適用する。一次単位は因子AとD、二次単位は因子B、三次単位は因子Cとする。変量因子との交互作用だけ個々の単位の残差にプーリングする。
(3) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Dを反復因子(変量因子)とし、2方分割法を適用する。
一次単位に因子A,Bを割り当てるが、それぞれ2方に分ける。交互作用Ａ×Ｂは二次単位、因子Ｃは二次単位とする。
4因子はなかなかボリュームがありますが、本演習問題ではすらすら書けるようになります。(1)(2)(3)において、データ構造式のどの項が変わるのかを意識して比較しましょう。
【4】直交表の割当数はデータの構造式から導出する
2水準3元配置実験において、取り出せる効果(主効果、交互作用、誤差)の総数は7であることを確認せよ。
3水準4元配置実験において、取り出せる効果(主効果、交互作用、誤差)の総数は40であることを確認せよ。
r水準n配置実験において、取り出せる効果(主効果、交互作用、誤差)の総数は
\(\frac{r^n-1}{r-1}\)であることを確認せよ。
2水準3元配置実験において、取り出せる効果(主効果、交互作用、誤差)の総数は7であることを確認せよ。
3水準4元配置実験において、取り出せる効果(主効果、交互作用、誤差)の総数は40であることを確認せよ。
r水準n配置実験において、取り出せる効果(主効果、交互作用、誤差)の総数は
\(\frac{r^n-1}{r-1}\)であることを確認せよ。
直交表の割当列が数式で決まっていることがわかるのは、QCプラネッツだけです。しかも、数学的に証明できます。
【5】自由度の導出
以下のそれぞれのデータの構造式において残差eの自由度を求めよ。ただし、因子A,B,C,Dの自由度はそれぞれa,b,c,dとする。
分割法を適用した次のデータの構造式における各残差の自由度(γ反復因子とし、乱塊法を適用)
\(x_{ijkl}=μ＋γ_k+α_i+ε_{(1)ik}\)+\(β_j+(αβ)_{ij}+ε_{(2)ijk}\)
四元配置実験で主効果、交互作用をプーリングしない場合の各項の自由度。
分割法を適用した次のデータの構造式における各残差の自由度(γ反復因子とし、乱塊法を適用)
\(x_{ijkl}=μ＋γ_k+α_i+ε_{(1)ik}\)+\(β_j+(αβ)_{ij}+ε_{(2)ijk}\)+\(δ_l+(αδ)_{il}+ε_{(3)ijkl}\)
以下のそれぞれのデータの構造式において残差eの自由度を求めよ。ただし、因子A,B,C,Dの自由度はそれぞれa,b,c,dとする。
分割法を適用した次のデータの構造式における各残差の自由度(γ反復因子とし、乱塊法を適用)
\(x_{ijkl}=μ＋γ_k+α_i+ε_{(1)ik}\)+\(β_j+(αβ)_{ij}+ε_{(2)ijk}\)
四元配置実験で主効果、交互作用をプーリングしない場合の各項の自由度。
分割法を適用した次のデータの構造式における各残差の自由度(γ反復因子とし、乱塊法を適用)
\(x_{ijkl}=μ＋γ_k+α_i+ε_{(1)ik}\)+\(β_j+(αβ)_{ij}+ε_{(2)ijk}\)+\(δ_l+(αδ)_{il}+ε_{(3)ijkl}\)
データの構造式から、どんな効果、残差でも自由度は１つの方法で導出できます。
【6】四元配置実験 平方和の分解
四元配置実験おいて、平方和の分解をせよ。
四元配置実験おいて、平方和の分解をせよ。
問題文は２行ですが、平均、A,B,C,D,AB,…,BCD,eの各ijkl成分の値を導出します。教科書は二元配置実験までですが、QCプラネッツは四元配置実験まで攻めます！
【7】文章からデータ構造式と分散分析表を作成
次の実験に対応するデータの構造式と分散分析表を作れ。分散分析表の列は因子、自由度、分散の期待値とする。
因子Aをa水準、因子Bをb水準として、a×b=abのすべての水準について繰返しのない完全ランダムな順序で実施する実験。
因子Aをa水準、因子Bをb水準、繰返し数cとして、a×b×c=abcのすべての水準について繰返しのない完全ランダムな順序で実施する実験。
因子Aをa水準、因子Bをb水準として、a×b=abのすべての水準について繰返しのない完全ランダムな順序で実験を実施し、各実験において測定をc回繰り返す。
因子Aをa水準、因子Bをb水準として、１日目はa×b=abの水準の組み合わせすべてに繰返しのない二元配置実験を行い、c日間繰返し、c日目も１日目と同じ二元配置実験を行う。
次の実験に対応するデータの構造式と分散分析表を作れ。分散分析表の列は因子、自由度、分散の期待値とする。
因子Aをa水準、因子Bをb水準として、a×b=abのすべての水準について繰返しのない完全ランダムな順序で実施する実験。
因子Aをa水準、因子Bをb水準、繰返し数cとして、a×b×c=abcのすべての水準について繰返しのない完全ランダムな順序で実施する実験。
因子Aをa水準、因子Bをb水準として、a×b=abのすべての水準について繰返しのない完全ランダムな順序で実験を実施し、各実験において測定をc回繰り返す。
因子Aをa水準、因子Bをb水準として、１日目はa×b=abの水準の組み合わせすべてに繰返しのない二元配置実験を行い、c日間繰返し、c日目も１日目と同じ二元配置実験を行う。
【8】分散の期待値の導出
(1) データ構造式\(x_{ij}=μ＋α_i+β_j+ε_{ij}\)にて、E[Se]=\((a-1)(b-1)σ_e^2\)を導出せよ。
(2) データ構造式\(x_{ijk}=μ＋α_i+β_j+γj\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}+ε_{ijk}\)にて、E[Se]=\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)を導出せよ。
(1) データ構造式\(x_{ij}=μ＋α_i+β_j+ε_{ij}\)にて、E[Se]=\((a-1)(b-1)σ_e^2\)を導出せよ。
(2) データ構造式\(x_{ijk}=μ＋α_i+β_j+γj\)+\((αβ)_{ij}+(αγ)_{ik}+(βγ)_{jk}+ε_{ijk}\)にて、E[Se]=\((a-1)(b-1)(c-1)σ_e^2\)を導出せよ。
残差の平方和・分散の期待値が端折らず導出過程を解説しています。
【9】多元配置実験、乱塊法、分割法、2方分割法の比較
4因子A(a水準),B(b水準,)C(c水準),D(d水準)において、以下のそれぞれの実験を実施する。
各々のデータ構造式と分散分析表を作成せよ。分散分析表には効果、自由度、分散の期待値とする。分散の期待値を導出せよ。(【3】と同じ問いとする)
(1)4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))を使って実験計画を立てる。2水準系直交表L16にすべての主効果、交互作用、残差eを割当てた場合。
(2) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Cを反復因子(変量因子)とし、分割法を適用する。一次単位は因子CとA、二次単位は因子B、三次単位は因子Cとする。変量因子との交互作用だけ個々の単位の残差にプーリングする。
(3) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Cを反復因子(変量因子)とし、2方分割法を適用する。一次単位に因子A,Bを割り当てるが、それぞれ2方に分ける。交互作用A×Bは二次単位、因子Dは二次単位とする。
4因子A(a水準),B(b水準,)C(c水準),D(d水準)において、以下のそれぞれの実験を実施する。
各々のデータ構造式と分散分析表を作成せよ。分散分析表には効果、自由度、分散の期待値とする。分散の期待値を導出せよ。(【3】と同じ問いとする)
(1)4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))を使って実験計画を立てる。2水準系直交表L16にすべての主効果、交互作用、残差eを割当てた場合。
(2) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Cを反復因子(変量因子)とし、分割法を適用する。一次単位は因子CとA、二次単位は因子B、三次単位は因子Cとする。変量因子との交互作用だけ個々の単位の残差にプーリングする。
(3) 4因子(A(α),B(β),C(γ) C(γ),D(δ))にて、因子Cを反復因子(変量因子)とし、2方分割法を適用する。一次単位に因子A,Bを割り当てるが、それぞれ2方に分ける。交互作用A×Bは二次単位、因子Dは二次単位とする。
すべての効果の分散の期待値を導出します。導出過程と(1)(2)(3)の違いを比較します。ここまで来たら、データの構造式を書いただけで、分散分析、分散の期待値、区間推定が１つの解法ですべての実験で解けるようになります。
【10】2方分割法(4因子)の区間推定
以下の分割法のデータ構造式を定義する。因子A,B,C,Dそれぞれの自由度をa,b,c,dとする。因子Cは反復因子ととし、乱塊法を適用する。
\(x_{ijkl}=μ＋γ_k+α_i+ε_{(1A)ik}\)+\(β_j+ε_{(1B)_jk}+ε_{(2)ijk}\)+\(δ_l+(αδ)_{il}+ε_{(3)ijkl}\)
分散分析表を作れ。分散分析表の列は、効果、自由度、E[V]とする。
次の組み合わせ値において、100(1-α)%における区間推定を①，②それぞれについて導出せよ。
(i) μ(AiBj)
(ii) μ(AiBjDl)
以下の分割法のデータ構造式を定義する。因子A,B,C,Dそれぞれの自由度をa,b,c,dとする。因子Cは反復因子ととし、乱塊法を適用する。
\(x_{ijkl}=μ＋γ_k+α_i+ε_{(1A)ik}\)+\(β_j+ε_{(1B)_jk}+ε_{(2)ijk}\)+\(δ_l+(αδ)_{il}+ε_{(3)ijkl}\)
分散分析表を作れ。分散分析表の列は、効果、自由度、E[V]とする。
次の組み合わせ値において、100(1-α)%における区間推定を①，②それぞれについて導出せよ。
(i) μ(AiBj)
(ii) μ(AiBjDl)
2方分割法の分散分析、分散の期待値、区間推定を演習するのはこの演習問題集だけでしょう。サタースウェイトの等価自由度もどんどん使って計算します。
全問の概要を紹介します。
| No | 章 | 問 | 内容 | ページ | 本記事 | |
| 1 | 1 | 実験計画法の基本 | 1 | 帰無仮説と対立仮説について | 4 | 【1】 |
| 2 | 2 | 直交性の確認 | 5 | ー | ||
| 3 | 3 | 多元配置実験と直交表とラテン方格法の比較 | 7 | 【2】 | ||
| 4 | 2 | データの構造式 | 1 | データの構造式について | 9 | ー |
| 5 | 2 | データの構造式の立式1(3因子) | 10 | ー | ||
| 6 | 3 | データの構造式の立式2(4因子) | 11 | 【3】 | ||
| 7 | 4 | 直交表の割当数はデータの構造式から導出する | 12 | 【4】 | ||
| 8 | 3 | 平方和の分解 | 1 | 自由度とは? | 13 | ー |
| 9 | 2 | 自由度の導出1(2,3因子) | 14 | ー | ||
| 10 | 3 | 自由度の導出2(3,4因子、乱塊法、分割法) | 15 | 【5】 | ||
| 11 | 4 | 平方和の分解 | 1 | 平方和の分解 中間項の和=0 の確認 | 16 | ー |
| 12 | 2 | 三元配置実験(繰返し有) 平方和の分解 | 17 | ー | ||
| 13 | 3 | 四元配置実験(繰返し有) 平方和の分解 | 22 | 【6】 | ||
| 14 | 5 | 分散分析と分散 の期待値の導出 |
1 | 同データにおける多元配置実験と分割法＋乱塊法の分散分析の違い | 30 | ー |
| 15 | 2 | 文章からデータ構造式と分散分析表を作成 | 31 | 【7】 | ||
| 16 | 3 | 平方和の分解は2 パターンある | 40 | ー | ||
| 17 | 4 | 残差の分散期待値の導出 | 42 | 【8】 | ||
| 18 | 5 | 多元配置実験、分割法、枝分かれ実験の比較 | 44 | ー | ||
| 19 | 6 | 多元配置実験、乱塊法、分割法、2 方分割法の比較 | 46 | 【9】 | ||
| 20 | 7 | 四元配置実験(繰返し有)で分散分析表を比較 | 65 | ー | ||
| 21 | 8 | 多元配置実験と多水準法の比較 | 66 | ー | ||
| 22 | 9 | 多元配置実験と擬水準法の比較 | 67 | ー | ||
| 23 | 10 | 枝分かれ実験の分散の期待値の導出(直列型、並列型) | 69 | ー | ||
| 24 | 11 | プーリングしても残差e の分散の期待値は不変 | 73 | ー | ||
| 25 | 6 | 区間推定 | 1 | 二元配置実験の区間推定(処理間差) | 74 | ー |
| 26 | 2 | 三元配置実験の区間推定 | 75 | ー | ||
| 27 | 3 | 四元配置実験の区間推定 | 76 | ー | ||
| 28 | 4 | 分割法＋乱塊法(3 因子)の区間推定 | 78 | ー | ||
| 29 | 5 | 分割法＋乱塊法(4 因子)の区間推定 | 80 | ー | ||
| 30 | 6 | 2 方分割法(4 因子)の区間推定 | 82 | 【10】 | ||
| 31 | 7 | 直交表の多因子割当ての区間推定 | 85 | ー | ||
| 32 | 8 | 多水準法の区間推定 | 86 | ー | ||
| 33 | 9 | 直交表の区間推定 | 87 | ー | ||
| 34 | 10 | 擬水準法の区間推定 | 89 | ー | ||
| 35 | 11 | 分割表(直交表)の区間推定 | 90 | ー | ||
| 36 | 7 | 直交表の特徴 | 1 | 直交表L4は8 種類ある | 92 | ー |
| 37 | 2 | 3 種類の直交表L9から分散分析 | 93 | ー | ||
| 38 | 3 | 直交表の割当列数はデータの構造式で決まる | 94 | ー | ||
| 39 | 4 | 直交表L27の分散分析 | 95 | ー | ||
| 40 | 5 | 多元配置実験と直交表の分散分析 | 97 | ー | ||
| 41 | 6 | 平方和の導出の証明問題(2水準、3水準の主効果と交互作用) | 98 | ー | ||
| 42 | 7 | データの構造式から直交表を作成 | 103 | ー | ||
| 43 | 8 | 直交表と線点図の作成 | 105 | ー | ||
| 44 | 9 | 直交表の拡張 | 106 | ー | ||
| 45 | 10 | 直交表の繰返し実験と乱塊法の比較 | 107 | ー | ||
| 46 | 8 | その他 | 1 | 繰返し数の異なる一元配置実験と欠測値の補完方法 | 109 | ー |
| 47 | 2 | 三元配置実験ですべての効果が有意になるデータを作る | 110 | ー |
章立てに、乱塊法などの手法名がありません。データの構造式から入る構成にしております。QCプラネッツの構成の考え方が演習問題の章構成につなげています。
④購入方法
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「QCプラネッツ」または「実験計画法」で検索ください。
2500円/1冊とさせていただきます。ご購入よろしくお願いいたします。
まとめ
実験計画法の演習問題集を販売しますご購入よろしくお願いいたします。。
- ①演習問題集でマスターしてほしいポイント
- ②実験計画法とは何か？のまとめ
- ③演習問題を公開します
- ④購入方法
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119