【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】

さっそく見ていきましょう。

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水準数、実験回数と割当て列数をあげてみます。

図を見ると水準数・実験回数・列数は関係式があることがわかります。

一般化すると、

つまり、

$$ L_{n^r}= n^ {\frac{n^r-1}{n-1}} $$

と、まとめることができます。非常に複雑な式ですが、１つの式でまとめることができます。不思議ですね。なぜそうなるかを解説します。

直交表は、いろいろな因子を割当てるメリットがありますが、基本は構成成分の総当り実験をするものです。

水準が3で4因子あれば、総当りで4の3乗の64回実験が必要です。直交表はL64と決まります。

直交表のLの横の値は、構成成分の総当りの実験回数です。直交表は実験回数が減らせるイメージが先行しますが、完全配置実験と同じく、総当りで実験回数を決めます。実験回数が減らせるのは交絡させるからですね。関連記事「【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること」で詳細に解説しています。

【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること 実験計画法の交絡(別名)を解説します。実験計画法のメリットである実験回数が減らせる理由など、交絡について知りたい方は必見です。

詳細は、「【本記事限定】交互作用を調べると直交表L27は複数ある【必見】」
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3水準の3因子では一旦、3×3×3=27列を割り当てます。次に、平均μの1列を外し、直交性がない2組みがあるため、(27-1)/2=13列と割当て列数が決まりました。列数が減った代わりに2種類の直交表が存在することがわかりました。

同様に、n水準r因子の場合を考えます。一旦全パターンを列数(\( n^r\)列
に割り当てます。次に、平均μの1列を外し、直交性がないn組みで割ります。

直交性がない5水準2因子で例をあげると、(a)～(d)の4種類はそれぞれ直交性がありません。
(a) ab, a2b, a3b, a4b
(b) 2ab, 2a2b, 2a3b, 2a4b
(c) 3ab, 3a2b, 3a3b, 3a4b
(d) 4ab, 4a2b, 4a3b, 4a4b

5水準2因子の場合は (5×5-1)/4=6列が配列できます。

一般化します、n水準r因子の場合、配列数は
$$ \frac{n^r-1}{n-1} $$

と書けます。等比数列みたいな式が出てきました。

随分難しい問題を提示しましたが、詳細は解説集に書いています。

$$ \sum_{i=0}^{r} (n-1)^i {}rC_i =n^r $$

という式が成り立つのを知りませんでした。どこかの難関大学数学問題に使われそうですね。

以上「直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる」を解説しました。