【簡単】実験計画法の交絡(別名)とはキャラがかぶっていること
「交絡(こうらく)って何？」、「交絡しているといいの？悪いの？」など、実験計画法の交絡がわからず、困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
交絡を理解する3つのポイント
- ➀交絡(別名)はキャラがかぶっていること
- ②交絡を回避する方法は因子数を増やすこと
- ③直交表など実験回数が減らせるのは交絡があるから
さっそく見ていきましょう。
➀交絡(別名)はキャラがかぶっていること
データの構造式の添字が同じなら交絡している
でも、\(α_i\)と\(e_i\)が交絡しています。
｢交絡｣は「別名」と書く教科書もあります。
【簡単】実験計画法のフィッシャー3原則がすぐわかる方法に書いたとおり、反復が必要なのは、主効果と交絡するからでしたね。
他の例も見てみましょう。
分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)i}+β_j\)+\((αβ)_{ij}+e_{(2)ij}\)
添字を見ればわかります。データの構造式だけ見ても意外と交絡に気がつきません。平方和を算出して、平方和が0になって「おかしい」となり、交絡に気が付くことがよくあります。
二元配置実験： \((αβ)_{ij}\)と\( e_{ij}\)が交絡
分割法： \(α_i\)と\( e_{(1)i}\)、\((αβ)_{ij}\)と\( e_{(2)ij}\)がそれぞれ交絡
②交絡を回避する方法は因子数を増やすこと
【簡単】実験計画法のフィッシャー3原則がすぐわかる方法に書いたとおり、反復が必要なのは、主効果と交絡するからでしたね。
反復して交絡を回避するのは、因子数を増やすことで回避しているのです。
一元配置実験 \( x_i=μ+α_i+e_i\)
を
一元配置実験 \( x_{ij}=μ+α_i+e_{ij}\)
と、添字jを追加して、\(α_i\)と\(e_{ij}\)を別々にしました。
他の例も交絡を回避してみましょう。
分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)i}+β_j\)+\((αβ)_{ij}+e_{(2)ij}\)
添字を追加(因子数増加)して、交絡を回避します。
二元配置実験 \(x_{ij}=μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ij}\)
を
二元配置実験 \(x_{ijk}=μ+α_i+β_j+(αβ)_{ij}+e_{ijk}\)
と、添字kを追加して、\((αβ)_{ij}\)と\(e_{ijk}\)を別々にしました。
分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)i}+β_j\)+\((αβ)_{ij}+e_{(2)ij}\)
を
分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)ik}+β_j\)+\((αβ)_{ij}+e_{(2)ijk}\)
と、添字kを追加して、\(α_i\)と\(e_{(1)ik}\)、\((αβ)_{ij}\)と\(e_{(2)ijk}\)を別々にしました。
分割法の式で、1次単位にあたる式を取り出します。
\( x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)ik}\)
です。よく見ると、添字kだけの主効果が抜けていますね。
ここによく乱塊法から \(γ_k\)を入れて
\( x_{ij}=μ+γ_k+α_i+e_{(1)ik}\)
とすることが多いです。これが、分割法に乱塊法がよく使われる理由です。
また、上の分割法を交絡回避したいなら、
分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)ik}\)+\(β_j+(αβ)_{ij}+e_{(2)ijk}\)
または、
分割法 \(x_{ij}=μ+α_i+e_{(1)ik}\)+\(β_j+(αβ)_{ij}+e_{(2)ijl}\)
と2次単位の誤差の添字をijkでなく、ijlとして4種類の添字にしてもよいです。ただ、添字は少ない方がシンプルでよいです。
③直交表など実験回数が減らせるのは交絡があるから
直交表は交絡が前提で活用するものです。
例として、直交表\(L_8(2^7)\)を挙げます。下の図のように5因子A,B,C,D,Fと交互作用A×Bと誤差Eを7列に割り当てます。
一見良さそうし、実際使っても良いです。しかし、主効果D,Fに割り当てた[5]列,[6]列は、交絡しています。
[5]列の成分はa×cですから交互作用A×Cと主効果Dは交絡しています。
これを許容してよいとして使うのが実験回数が減らせる直交表です。
ですから、交絡しても構わないと割り切っているのです。
| 割付 | A | B | A×B | C | D | F | e |
| 列 | [1] | [2] | [3] | [4] | [5] | [6] | [7] |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 6 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 7 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 8 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 |
| 成分 | a | a | a | ||||
| b | b | b | b | ||||
| c | c | c | c |
| 割付 | A | B | A×B | C | A×C | B×C | e |
| 列 | [1] | [2] | [3] | [4] | [5] | [6] | [7] |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| 4 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
| 5 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 6 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 7 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 8 | 2 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 |
| 成 分 |
a | a | a | ||||
| b | b | b | b | ||||
| c | c | c | c |
直交表は割り当てた成分に従って、列に割り当てるべきと私は考えます。
直交表は実験回数が減らせるメリットをうたう分、交絡するリスクを承知であることをよく理解してください。
交絡を回避して１つずつの要素を確実に実験したいならば、実験回数は相応しい回数で行うべきです。
2水準系で5因子なら \(2^5\)=32回は実験しましょう。
そもそも、計算機が未熟だった昭和の時代では、実験もシミュレーションも手間・コストがかかるため、何とか安く・早く・それなりの結果が出る手法が必要でした。それが実験計画法だったわけです。交絡を承知で実験回数を32回から8回で済み、結果もそこそこな直交表が有効でした。
時代背景は、教科書には書いていない内容なので、直交表は実験回数が減らせる都合のよい方法と一方的に入ってきます。しかし、よく考えると交絡のデメリットがあります。そこをよく考えた上で直交表を活用しましょう。
まとめ
本記事では、交絡(別名)について解説し、直交表の活用の注意点まで述べました。
- ➀交絡(別名)はキャラがかぶっていること
- ②交絡を回避する方法は因子数を増やすこと
- ③直交表など実験回数が減らせるのは交絡があるから
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