2021/07/01 (更新日: 2023/12/06)

なぜ、実験計画法は分散で検定するのかが5分でわかる【初心者向け】

実験計画法

「なぜ分散分析表を作ってF検定するのがわからない」、「F検定する時の「帰無仮説」と「対立仮説」は何か？がわからない」など困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

なぜ、実験計画法は分散で検定するのかが5分でわかる

分散分析とF検定を理解するポイント

➀分散で検定する理由を理解する
②帰無仮説と対立仮説を理解する
③F検定のメリット・デメリットを知る

分散分析、F検定、検定する帰無仮説・対立仮説は何か？
を疑問に思えるあなたは、センスがいいです。
よくわからないけど計算方法や公式を暗記しながら、
徐々に実験計画法の中身をマスターしていきましょう。

この記事を読むあなたは、いくつか実験計画法の考え方がすぐに理解できず苦労していると思います。
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さっそく見ていきましょう。

➀分散で検定する理由を理解する

最初に学ぶ検定は「平均差の検定」ですよね。本来は平均差の検定を使うべきです。
でも、実験計画法では平均差の検定では不十分なため分散を使います。

要因効果は母平均の差で検定

例として、一元配置実験(水準数3)の因子Aを考えます。

水準	データ
A1	12 13 15 16

A2	21 22 19 24
A3	26 25 27 28

データの取り方についてはフィッシャーの3原則をご覧下さい。

因子Aの効果があるかを調べるとき、3つの仮説を立てて、母平均差を検定します。

・A1とA2の違いを調べる　帰無仮説：A1=A2、対立仮説：A1≠A2
・A1とA3の違いを調べる　帰無仮説：A1=A2、対立仮説：A1≠A2
・A2とA3の違いを調べる　帰無仮説：A1=A2、対立仮説：A1≠A2

検定回数の増加が検出力の低下につながる

上の場合では、3回検定が必要です。検定回数が増えると検定精度(検定力)が低下します。検定はある確率α(第１種の誤り)で誤判断します。αはよく5%としますね。

検定回数がn回の場合は、検定結果が正しい確率は (1-α)^n (^は乗とします)です。
検定回数が3回の場合は、(1-0.05)^3=84%となり、16%も誤判断します。

調べたい水準数が多いと正しい判定でできなくなります。

1回の検定で済ませるF検定(分散を使う理由)

母平均差の検定では、
A1-A2=0かつ、A2-A3=0かつ、A3-A1=0
の3つの式を１つずつ3回検定します。検定回数が増えると検定力が低下します。

ではどうするか？

上の3つの式を1つの式で表現できれば、1回の検定で済むのです。

なるほど！

では、どうやって変形しますか？　高校数学の問題です。

答えは、2乗和にすればよいのです。
(A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2=0
を検定すればよいのです。

2乗は必ず0以上になります。各2乗和の総和が0ならば、各2乗和はすべて0になりますね。
つまり、
(A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2=0ならば、
A1-A2=0かつ、A2-A3=0かつ、A3-A1=0
です。

また、2乗和の式をよくみると分散を求める式と同じです。
データと平均の差を2乗して足す項が分散にもあります。

これが、分散を検定に使う理由なのです。

②帰無仮説と対立仮説を理解する

主効果、交互作用や反復の分散がそれぞれ0かどうかを調べればOKです。

1.主効果
帰無仮説： σA^2=0
対立仮説： σA^2≠0

2.交互作用
帰無仮説： σA×B^2=0
対立仮説： σA×B^2≠0

3.反復
帰無仮説： σR^2=0
対立仮説： σR^2≠0
などです。

実験計画法の分散分析において、検定の帰無仮説と対立仮説は分散が0かどうかですが、なぜ分散で検定するのかを理解することが重要です。

③F検定のメリット・デメリットを知る

F検定のメリット

検定力が維持できる。
1回の検定で済む。

F検定のデメリット

因子の有意性がわかるが、どの水準間で違いがあるのかはわからない。
でも大した問題ではない。

(A1-A2)^2+(A2-A3)^2+(A3-A1)^2=0 という式を書きましたね。
右辺が0出ない場合は、左辺の()のどれかが0でないことがわかります。
でも、どの()が0でないかはわかりません。

では、問題なのか？というと大した問題ではありません

実験計画法では、主効果、交互作用などの因子において有意性を調べますが、
各因子内の水準までは検定しません。なので、気にしなくてよいのです。

メリットの効果が高く、デメリットの影響が無いため、
分散分析とF検定をしているのです。

まとめ

➀分散で検定する理由を理解する
②帰無仮説と対立仮説を理解する
③F検定のメリット・デメリットを知る