【本記事限定】3水準以上の直交表には交互作用が複数列ある理由
「3水準の直交表の交互作用はなんで2列や4列などあるの？」、「多水準の直交表の交互作用の列はどうやって求めるの？」など、直交表をよく知らないまま、計算しているだけで、実は、説明できず困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
交互作用列が複数ある理由【絶対知っといて！】
- ➀【本記事限定】3水準の直交表から各列の平方和を導出する方法
- ②【本記事限定】3水準の直交表の割当てと平方和の計算
- ③【本記事限定】交互作用列が複数列必要な理由
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。直交表がより詳しくわかる重要な記事なので、読んでください！
直交表の理解を深める関連記事を紹介します。どれも重要です。
●【本記事限定】交互作用を調べると直交表L27は複数ある【必見】
●【本記事限定】直交表の交互作用がある列は素数の水準系だけ【必見】
●【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】
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●【本記事限定】直交表の種類は無数にある【必見】
●【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】
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さっそく見ていきましょう。
➀【本記事限定】3水準の直交表から各列の平方和を導出する方法
公式がありますので紹介します。
$$ S_{[k]}= \sum_{i=1}^{3} \frac{(第i水準のデータ和)^2}{ 第i水準のデータ数 }-CT $$
S[k]は第[k]列の平方和、CTは修正項です。
$$ S_{[k]}= \sum_{i=1}^{3} \frac{(第i水準のデータ和)^2}{ 第i水準のデータ数 }-CT $$
から導出できることを示せ。
(詳細は解説集にあります。一度解いてみてください。)
②【本記事限定】3水準の直交表の割当てと平方和の計算
【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】で紹介したように、データの構造式を作ってから直交表に割当てしましょう。
3水準で3因子(A,B,C)を事例に挙げます。すべての場合を実験すると、実験回数は27回です。データの構造式は、
\(x_{ijk}=μ+α_i+β_j+γ_k+(αβ)_{ij}+(βγ)_{jk}+(αγ)_{ik}+e_{ijk} \)
ですね。
ですから、主効果A,B,Cと交互作用A×B,A×C,B×C,残差eの7列が直交表に割当てます。ん？ 直交表L27は13列だけど？と思ったでしょう。7列ではなく13列必要な理由をこれから解説します。
三元配置実験を直交表へ
データを用意します。
完全配置実験として、三元配置実験の分散分析の結果を示します。
(詳細は解説集にあります。一度解いてみてください。)
次に、7列の直交表を作って割当てましょう。交互作用の列の水準のつくり方は、【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】を確認しましょう。
上の図にあるように、各列の平方和を算出しましょう。
$$ S_{[k]}= \sum_{i=1}^{3} \frac{(第i水準のデータ和)^2}{ 第i水準のデータ数 }-CT $$
より、第１列(主効果A)は、
第1水準の和： 119
第2水準の和： 145
第3水準の和： 114
修正項CT=378^2/27=5292
$$S[1]= \frac{119^2+145^2+114^2}{9}-5292=61.56$$
となります。
同様に、主効果B,C, 交互作用A×B,A×C,B×C,残差eの平方和を直交表から算出します。
③【本記事限定】交互作用列が複数列必要な理由
分散分析の結果を比較
完全配置実験した場合と7列の直交表から算出した分散分析の結果を比較しましょう。
変ですね。主効果は一致するのに、交互作用、残差は一致しませんし、直交表の方が値は少ないです。
複数列が必要なのです。直交表L27は計13列が必要です。各列に割当てて平方和を計算しましょう。全列の平方和の総和が全平方和と一致します。
交互作用について、
\(S_{A×B}=S_3+S_4\)=44.22+113.56=157.78
\(S_{A×C}=S_6+S_7\)=16.89+88.67=105.56
\(S_{B×C}=S_8+S_{11}\)=14.89+26.89=41.78
\(S_e=S_9+S_{10}+S_{12}+S_{13}\)=88.22+60.67+14.89+32.67=196.44
完全配置実験と直交表の分散分析結果が一致します。
実際に、データの構造式から計算すると、2因子交互作用は複数列必要になることがわかります。
$$ S_A =Sa $$
$$ S_{A×B} = S_{a×b} + S_{a×2b} $$
$$ S_{A×B} = S_{a×b} + S_{2a×b} $$
計算するとわかったのですが、交互作用は2種類と複数あります。つまり、直交表は同じ\(L_{27} (3^{13})\)でも、１つではなく、多数があります。これもここで、解説します。もっというと、直交表は無数にあります。教科書は１つしか書いていませんけど。
(詳細は解説集にあります。一度解いてみてください。)
教科書には、交互作用には2乗をつけて、\(ab^2\),\(ac^2\)と表記しますが、本記事は積ではなく和で記載します。
\( ab^2 → a2b\)と書きます。
交互作用が必要とする列数
3因子の交互作用なら4列
4因子の交互作用なら8列
・・・
一般化すると
m水準n因子の交互作用なら、\((m-1)^{(n-1)}\)列
例えば、3水準、3因子の場合は
主効果：3個×1列=3列
2因子の交互作用：3種類×2列=6列
3因子の交互作用(残差)：1種類×4列=4列
より、 3+6+4=13列が必要となります。直交表\(L_{27} (3^{13})\)の理由がわかります。
例えば、3水準、4因子の場合は
主効果：4個×1列=4列
2因子の交互作用：6種類×2列=12列
3因子の交互作用：4種類×4列=16列
4因子の交互作用(残差)：1種類×8列=8列
より、 4+12+16+8=40列が必要となります。直交表\(L_{81} (3^{40})\)の理由がわかります。
いろいろな直交表の列数がどのように決まるかが理解いただけたと思います。
まとめ
3水準の直交表とデータの構造式を使って、交互作用の列が複数必要な理由を解説しました。
- ➀【本記事限定】3水準の直交表から各列の平方和を導出する方法
- ②【本記事限定】3水準の直交表の割当てと平方和の計算
- ③【本記事限定】交互作用列が複数列必要な理由
直交表の理解を深める関連記事を紹介します。どれも重要です。
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●【本記事限定】直交表の実験回数と割当て列数が決まっている理由がわかる【必見】
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●【簡単】2水準の直交表のつくり方【必見】
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