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【本記事限定】直交表の拡張方法がわかる【必見】

実験計画法

「直交表はどうやって拡張するの?」「大きな直交表と小さな直交表の関係があるの?」など、直交表を拡張するときに、疑問に思ったことありませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

直交表の拡張方法がわかる

直交表の拡張方法がわかる

  • ➀直交性がある配列パターンを機械的に探す
  • ②手計算で直交表を拡張する方法
  • ③直交表を拡張する時の注意点

記事の信頼性

記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。直交表がより詳しくわかる重要な記事なので、読んでください!

さっそく見ていきましょう。

➀直交性がある配列パターンを機械的に探す

そもそも直交表の配列パターンは必要ありません

各列どおし直交性があればよいのです。直交性については、関連記事を読んでください。自分のある1水準に対して、他の列の全水準が割り当てられていることが条件です。

どんな列が配列されるかを考えましょう。事例として直交表\(L_{16} (2^{15})\)を挙げます。

  • (あ) 直交表列は\( 2^{16}\)列候補がある。
  • (い)水準1が8個、水準2が8個のパターン\( \frac{16!}{8!8!}\)を選ぶ。
  • (う)内積0のパターンに絞り込む。
  • (え)自分のある1水準に対して、他の列の全水準が割り当てられているパタンに絞る

上の(あ)~(え)の順番で列を絞ると15列になります。私は実際にエクセルとVBAを使って機械的に導出しました。15列以上だったり15列未満だったりするのではないかと期待しましたが、ちゃんと15列出てきます。なぜなのかは、まだ説明がつきませんが、面白いです。

②手計算で直交表を拡張する方法

今は、計算機のマシーンパワーが強いので、機械的に力技で直交表を作ることができます。しかし、実験計画法は計算機がなかった昭和の時代に普及しました。手計算で求める方法で直交表を拡張しました。

教科書でよく取り上げられる方法ですが、この方法は直交表を拡張する方法の1つにすぎないことを理解してください。「教科書=正しい」がインプットされることは良いとは限りません。別の拡張方法もあるのではないかと気づくことが大事です。

2水準の場合

行列Mを設定し、行列M’を下図のように定義します。

直交表

例として、直交表\(L_4 (2^3)\)を\(L_8 (2^7)\)に拡張します。

ここで、M+1,M+2は、行列の書く値に加算して、その水準数で割った余りとします。例えば、水準数3とします。
M=(1,2,3) ⇒M+1=(2,3,1)
M=(1,2,3) ⇒M+2=(3,1,2)
と変えます。この方法ですべての直交表を拡張します。

直交表

同様にL16,L32,…と拡張できます。

3水準の場合

行列Mを設定し、行列M’を下図のように定義します。

直交表

例として、直交表\(L_9 (3^4)\)を\(L_{27} (3^{13})\)に拡張します。

直交表

同様にL81,L243,…と拡張できます。

4水準の場合

行列Mを設定し、行列M’を下図のように定義します。

直交表

上図の赤字を見ると、加算した数字がラテン方格法に従っていることがわかります。

5水準の場合

行列Mを設定し、行列M’を下図のように定義します。

直交表

上図の赤字を見ると、加算した数字がラテン方格法に従っていることがわかります。

その他、多水準についても同様に拡張できます。便利な方法ですね。

問:(1)直交表\(L_{16} (2^{15})\)を\(L_8 (2^7)\)から拡張して作成せよ。
(2) 上の方法で、直交表\(L_{16} (4^{5})\)を作れ。また、直交性が無いパターンになることを確認せよ。
(3) 直交表\(L_{25} (5^{6})\)を作れ。
(詳細は解説集にあります。)

③直交表を拡張する時の注意点

問(2) 上の方法で、直交表\(L_{16} (4^{5})\)を作れ。また、直交性が無いパターンになることを確認せよ。

どういうこと? と思いますね。

関連記事のように、水準数が素数でない場合は、うまく配列ができません。

直交表\(L_{16} (4^{5})\)を行列M’の定義で作ったあと、各列どおしの直交性を持たせるために、数字の入れ替えをしています。そのため、交互作用の列がありません

また、6水準の場合、直交表を拡張する際の、ラテン方格のための行列が存在しないため、拡張できません。

一方、水準数が素数の場合は問題なく、本記事の拡張方法がすべて使えます。

水準数4,6,8,9等を使う場合は十分注意してください。実務上、水準数は2,3か、たまに5を使う程度でしょう。

まとめ

直交表の拡張方法を解説し、水準の数についての注意点を説明しました。

  • ➀直交性がある配列パターンを機械的に探す
  • ②手計算で直交表を拡張する方法
  • ③直交表を拡張する時の注意点


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