【本記事限定】直交表の種類は無数にある【必見】
「直交表は１種類と決まっているの？」「直交表はいろいろな種類があるならどうやって求めるの？」など、いろいろな水準系の直交表を勉強する中で、疑問に思ったことありませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
直交表は無数ある【絶対知っといて！】
- ➀【本記事限定】直交表は無数にある
- ②【本記事限定】直交表の配列は直交性の可否できまる
- ③【本記事限定】直交表のいろいろな例
記事の信頼性
記事を書いている私は、実験計画法に磨きをかけていますので、わかりやすく解説します。本記事は、どこに書いていない、私が研究して見つけた本記事限定の内容です。直交表がより詳しくわかる重要な記事なので、読んでください！
さっそく見ていきましょう。
➀【本記事限定】直交表は無数にある
いろいろな直交表
教科書にある直交表は、どのタイプも１種類しかありません。しかも、アダマール行列など数学を使って表を作っていくため、１種類しかないような印象を受けます。しかし、本当なのでしょうか？
直交性をもつ配列パターンをエクセルで調べると、無数のパターンがあることがわかりました。
【本記事限定】交互作用を調べると直交表L27は複数ある【必見】で解説したように、交互作用のパターンが複数あることから、直交表の複数に気がつきました。
本記事では、全配列パターンを調べると何種類の直交表があるのかを解説します。
種類をまとめると下図のようになりました。\(L_4 (2^3)\)は8種類、\(L_8 (2^7)\)は501種類、と指数関数的に種類が増えているのがわかります。なお、L18以降は計算機の馬力制約のため調査できていませんが、機会があれば挑戦します。
L4 :8
L8: 501
L9: 2444
L12: 10000以上
…と一気に無数に発散します。
②【本記事限定】直交表の配列は直交性の可否できまる
直交性については、【本記事限定】実験計画法では実験回数を減らすために直交性が必須で解説しましたが、本記事でも実際やってみましょう。
直交性とは他の因子が見えなくすること
- 直交表とは、内積=0では不十分で、他の因子が見えなくすること
- データの構造式で、主効果や交互作用の合計は0
直交表の各列を作るときに、直交性を保持するイメージを下図に書きます。
まず、実験回数n回と水準数mに対して、列のパターンは\(m^n\)種類があります。直交表\(L_{27}\)なら\(3^{27}\)＝7625597484987列あります。もう数えられないレベルですが、そのうち、直交性がありそうなパターン列に絞ります。1000列くらいまで絞ればエクセルで計算ができます。
どの2組みの列も1つの列の１つ水準に対して、他の列の全ての水準が含むように割り当てます。さすが、手計算は厳しいのでエクセルで計算します。次の2つ面白いことがわかりました。
- (i)直交表のパターンが無数にある
- (ii)割当て可能な最大列は決まっている
エクセルで計算して、｢直交表は1パターンしかないのか？直交表\(L_{27} (3^{13})\)というが、本当はもっと列があるのではないか？」と狙って、全パターンを解析すると、直交表のパターンがたくさんあることと、列数は１つに決まることがわかります。
③【本記事限定】直交表のいろいろな例
具体的な直交表を使って複数のパターンを調べましょう。その方がわかりやすいです。直交表\(L_4 2^3\)を使って調べましょう。次の2つの方法で調べていきます。
- (i)列の全パターンのうち、水準数が同回ある列に絞る
- (ii)直交性がある列の組み合わせを調べる
直交表\(L_4 2^3\)は6列候補がある
実験回数が4回、2水準ですから、単純に2の4乗の16列あります。さらに、どの列も水準1が2回、水準2が2回あるので、｢1,1,2,2｣の並び方が全部で何通りあるかを計算しましょう。高校数学ですね。
$$ \frac{4!}{2!2!}=6 $$
６列を書き出しましょう。
[1]列 [2]列 [3]列 [4]列 [5]列 [6]列
1 1 1 2 2 2
1 2 2 1 1 2
2 1 2 1 2 1
2 2 1 2 1 1
直交表\(L_4 2^3\)の6列の直交性を調べる
2組みの列を取り出し、1列の各水準が他の列の全水準を含んでいるかを調べます。重複を防ぐために、[1]列：[2]列～[6]列
[2]列：[3]列～[6]列
…
[5]列：[6]列
とそれぞれ2組みの列の直交性を調べます。
次に直交性を持つ列を集めていきます。
[1]列と[2]列は明らかに直交性があります。
[1]列と[2]列と[3]列も直交性があります。
[1]列と[2]列と[3]列と[4]列は、[3]列と[4]列は直交性がありません。
…
と全パターンを調べていきます。
その結果、8種類見つけることができました。
2つの方法で直交表の列の候補を調べていきます。
- (i)列の全パターンのうち、水準数が同回ある列に絞る
- (ii)直交性がある列の組み合わせを調べる
詳細は解説集にあります。
詳細は解説集にあります。
まとめ
直交表の列の作り方を解説し、無数あることを紹介しました。自分でも試しに作ってみましょう。新たな発見があります。
- ➀【本記事限定】直交表は無数にある
- ②【本記事限定】直交表の配列は直交性の可否できまる
- ③【本記事限定】直交表のいろいろな例
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