2021/08/27 (更新日: 2023/12/08)

一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】

実験計画法

「平方和がなぜ分解できるのかがわからない、解けない」、「主効果、交互作用、残差の各値が計算できない」、「主効果、交互作用、残差の和が0になる理由がわからない」、など、実験計画法や分散分析に不慣れで困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

一元配置実験の平方和の分解

• ①データの分解方法がわかる
• ②主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
• ③主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。

本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ？と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます！

①データの分解方法がわかる

データの構造式

一因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。

一元配置実験のデータの構造式

x_ij=μ+α_i+e_ij

一元配置実験をデータ分解する

因子と水準の違いは説明できますか？
なぜ聞くかというと、私はQC検定2級受験で因子と水準の設問に間違えたからです。
QC検定2級合格しても、因子と水準の違いがついていませんでした。

【簡単】因子と水準の違い

一元配置実験のデータを用意します。

データの分解方法

1. 全体の平均μを求める
2. 主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
3. 残差\(e_{ij}\)は残りの値

計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。

(i)全体の平均μを求める。
μ=合計/個数=135/9=15

(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{2+7+12}{3}\)-15=-8
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{8+13+21}{3}\)-15=-1
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{15+23+34}{3}\)-15=9

(iii) 残差\(e_{ij}\)は残りの値
\(ε_{ij}\)=\(x_{ij}\)-μ-\(α_i\)
例えばi=2,j=3としましょう。
\(ε_{23}\)=\(x_{23}\)-μ-\(α_i2\)
=21-15-(-1)=7
これをすべてのijについて計算します。

まとめると次のようにデータが分解できます。

データの分解のまとめ

=

+

+

②主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+ x_ij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

次に平方和を導出しましょう。

平方和の分解を導出

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+ x_ij
を
x_ij-μ+=α_i+ x_ij
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjをつけます。

\(\sum_{i=1}^{a}(αβ)_{ij}\)=0, \(\sum_{j=1}^{b}(αβ)_{ij}\)=0

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i-ε_{ij})^2\)
の右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i^2-2α_iε_{ij}+ε_{ij}^2)\)
= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i^2\)-2\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_iε_{ij}\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}^2)\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i^2\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}^2)\)
つまり、\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_iε_{ij}\)=0
となります。

データの分解した表から平方和の分解を導出

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+ x_ij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

すべての値を2乗しましょう。

=

+

+

表の和をまとめると、
2781=2025+438+318
と一致します。あら、不思議！

実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
S_T2781-2025=756
S_A=438
S_e=318
(438+318=756)
となります。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i-ε_{ij})^2\)
>\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i^2\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}^2)\)
S_T(2781-2025=756)= S_A(=438)+ S_e(=318)
となります。

表から中間項の和が0になることを確認

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_iε_{ij}^2\)=0
を実際に計算して確認します。

×

=

黄色枠のとおり、合計は0になります。

③主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

数式から理由を理解する

【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+ x_ij
から、両辺に和をとります。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(μ+α_i-ε_{ij})\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}μ\)+\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i\)-\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij})\)
ここで、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}μ\)
で、αとεは独立した関係なので、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}\)=0
となります。

データの分解した表から理由を理解する

表でも確認しましょう。

主効果の和=0を確認

残差の和=0を確認

つまり、
\(\sum_{i=1}^{a}α_i\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}ε_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}\)=0
\(\sum_{j=1}^{b}ε_{ij}\neq0\)(意外！)
となります。

公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。

まとめ

一元配置実験の平方和の分解を詳細に解説しました。

• ①データの分解方法がわかる
• ②主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
• ③主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

実験計画法

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