2021/08/30 (更新日: 2023/12/08)

二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解ができる【初心者必見】

実験計画法

「平方和がなぜ分解できるのかがわからない、解けない」、「主効果、交互作用、残差の各値が計算できない」、「主効果、交互作用、残差の和が0になる理由がわからない」、など、実験計画法や分散分析に不慣れで困っていませんか？

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

二元配置実験(交互作用無し)の平方和の分解

• ①二元配置実験(交互作用無し)のデータの分解方法がわかる
• ②二元配置実験(交互作用無し)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
• ③二元配置実験(交互作用無し)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

記事の信頼性

記事を書いている私は、QC検定®１級合格した後、さらに実験計画法に磨きをかけています。とはいえ、QC検定®1級合格前の1.5年前までは、実験計画法すら知りませんでした。実験計画法を初めて勉強して3ヶ月後にQC検定®2級を合格しました。実験計画法はまったく理解できていませんでしたが、計算方法だけ暗記して点数を稼ぐレベルでした。

本記事は、実験計画法を学び始めるときに、なぜ？と不思議に思う内容をわかりやすく解説します。すぐ読めます！

①二元配置実験(交互作用無し)のデータの分解方法がわかる

データの構造式

二因子の完全配置実験のデータの構造式からスタートします。
実験計画法は慣れないうちは、分散分析ができることを最優先するので、
データの構造式は見なくてもOKです。
しかし、データの構造式さえあれば全部計算できるので、機械的に書きましょう。

二元配置実験(交互作用無し)のデータの構造式

x_ij=μ+α_i+β_j+e_ij

二元配置実験をデータ分解する

因子と水準の違いは説明できますか？
関連記事一元配置実験の平方和の分解ができる【初心者必見】に解説していますが、

一言でいうと次の通りです。

【簡単】因子と水準の違い

二元配置実験(交互作用無し)のデータを用意します。

データの分解方法

1. 全体の平均μを求める
2. 主効果\(α_i\)、\(β_j\)の各値を求める
3. 残差\(e_{ij}\)は残りの値

計算して、表を作ってみた方がわかりやすいです。

(i)全体の平均μを求める。
μ=合計/個数=240/12=20

(ii)主効果\(α_i\)の各値(i=1,2,3)を求める
\(α_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{8+9+13+10}{4}\)-20=-10
\(α_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{8+15+19+26}{4}\)-20=-3
\(α_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{17+24+40+51}{4}\)-20=13

(ii)主効果\(β_j\)の各値(j=1,2,3,4)を求める
\(β_1\)=(水準1の平均)―μ=\(\frac{8+8+17}{3}\)-20=-9
\(β_2\)=(水準2の平均)―μ=\(\frac{9+15+24}{3}\)-20=-4
\(β_3\)=(水準3の平均)―μ=\(\frac{13+19+40}{3}\)-20=4
\(β_4\)=(水準4の平均)―μ=\(\frac{10+26+51}{3}\)-20=9

(iii)残差\(e_{ij}\)の各値を求める

\(e_{11}\)～\(e_{34}\)の全12種類を計算します。
\(e_{11}\)=AB11―μ―α1―β1=8-20-(-10)-(-9)=7
\(e_{12}\)=AB12―μ―α1―β2=9-20-(-10)-(-4)=3
…
\(e_{14}\)=AB14―μ―α1―β4=10-20-(-10)-9=-9
…
\(e_{34}\)=AB34―μ―α3―β4=51-20-13-9=9

まとめると次のようにデータが分解できます。

データの分解のまとめ

=

+

+

+

②二元配置実験(交互作用有り)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+β_j+e_ij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

次に平方和を導出しましょう。

平方和の分解を導出

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+β_j+e_ij
を
x_ij-μ=α_i+β_j+e_ij
と変形し、両辺を2乗したものにΣiΣjをつけます。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)
=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(α_i+β_j+e_{ij})^2\)

右辺は、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((α_i^2+β_j^2+e_{ij}^2)\)
+2\((α_i β_j+α_i e_{ij} +β_j e_{ij})\)

ここで、(右辺の) 2乗項以外の中間項の和はすべて0になるため、
(右辺)= \(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((α_i^2+β_j^2+e_{ij}^2)\)
となります。中間項の和が0になることを後で１つずつ数値をいれて計算して確かめましょう。

まとめると、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}(x_{ij}-μ)^2\)
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)\((α_i^2+β_j^2+e_{ij}^2)\)
これが、
S_T= S_A+ S_B+ S_e
となり、平方和の分解ができるのです。

データの分解した表から平方和の分解を導出

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+β_j+e_ij
の、各i,jに対する値について、表を使って計算しました。

すべての値を2乗しましょう。

表の和をまとめると、
6806=4800+1112+582+312
と一致します。あら、不思議！

実際、合計,因子A,残差eに対する平方和Sは、
S_T6806-4800=2006
S_A=1112
S_B=582
S_e=312
となります。

表から中間項の和が0になることを確認

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i β_j\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}α_i e_{ij}\)=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}β_j e_{ij}\)=0
となります。式変形で証明しても良いですが、慣れないうちは、具体的に計算して確認しましょう。

6つ紹介するとくどいので、１つだけ代表例をみましょう。
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}β_j e_{ij}\)=0
をやってみましょう。

×

=

黄色枠のとおり、合計は0になります。

③二元配置実験(交互作用無し)の主効果、交互作用、残差の和が0である理由がわかる

数式から理由を理解する

【簡単】主効果、交互作用、残差の和が0である理由

データの構造式
x_ij=μ+ α_i+β_j+e_ij
から、両辺に和をとります。

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\ x_{ij}\)=\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}μ\)=abμ
より、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)α_i+β_j+e_ij
=0
で、α,β、εは独立した関係なので、
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)α_i=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)β_j=0
\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)e_ij=0
となります。

データの分解した表から理由を理解する

表でも確認しましょう。

主効果α_i

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)α_i=0
を確認します。

主効果β_j

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)β_j=0
を確認します。

残差e_ij

\(\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\)e_ij=0
を確認します。さらにいうと、
\(\sum_{i=1}^{a}\)e_ij=0
\(\sum_{j=1}^{b}\)e_ij=0
が成り立つことを確認します。

公式暗記の前に、具体的な数字を使った計算結果を見て、慣れていきましょう。

まとめ

二元配置実験の平方和の分解を詳細に解説しました。

• ①二元配置実験(交互作用無し)のデータの分解方法がわかる
• ②二元配置実験(交互作用無し)の主効果、残差の平方和がデータの分解から計算できる
• ③二元配置実験(交互作用無し)の主効果、残差の和が0である理由がわかる

実験計画法

Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 122