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【初心者必見!】正規分布の概形、近似式、定積分が解ける!(高校数学で解ける!)

基本統計量

「正規分布がいまいちよくわからない」などと困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【初心者必見!】正規分布の概形、近似式、定積分が解ける!(高校数学で解ける!)

おさえておきたいポイント

  • ①正規分布の概形を描いてみよう!(高3レベル)
  • ➁正規分布に近いグラフを描いてみよう!(高3レベル)
  • ➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう!(高2レベル)
正規分布は絶対勉強しないといけないけど、
式が難しいし、
正規分布表が何であるのかわからない
など、最初悩みますよね!
正規分布に慣れるには、
高校数学の微分積分を使って
実際にグラフを描いて、面積を求めてみましょう!
\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)の式に
圧倒される必要はありません。
自分の解けるテリトリーに持って行きましょう。

正規分布に慣れる良問を持ってきましたので、一緒に解きながら慣れていきましょう!

①正規分布の概形を描いてみよう!(高3レベル)

例題

正規分布の分布関数\(f(x)\)=\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)のグラフを描く。
(1) 極値と変曲点の座標を求めよ。
(2) \(y=f(x)\)を描け

 理系の高校数学の定期試験問題レベルです。ここは、しっかり解けるようにしましょう。

問(1)の回答

微分します。
●\(f’(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\(f’’(x)\)=\((-1+x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}\)

ここで、極値と変曲点を考えます。
●\(f’(x)\)=0のときは、\(x\)=0 で、
●\(f’’(x)\)=0のときは、\(x\)=±1 なので、
増減表ができますね。

正規分布

増減表をもとに、概形を描くと下図になります。

正規分布

高校数学では、あまり\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)の式が出ませんが、特に気にせず、普通に微分積分すれば解けます!

➁正規分布に近いグラフを描いてみよう!(高3レベル)

正規分布の式になぜ正規分布表があるのか?

統計学やQCを勉強すると、必ず、正規分布表の読み方などを勉強しますが、
何で、あんな表があるかわかりますか? この疑問を持つことの方が表の読み方の勉強より大事です!

正規分布の式
\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)
は積分できない(不定積分が作れない)
正規分布の式
\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)
の積分値は近似値で与えているのが現状
でも、正規分布の式の定積分
\( \displaystyle \int_{-∞}^{∞}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)は計算できる!

不定積分が計算できないのに、なぜか定積分は計算できる
変な式です。だから、理解が難しい!

だったら、簡単な近似式を作ってしまおう!

次の例題に行きましょう。

例題

正規分布の分布関数\(f(x)\)=\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)をテイラー展開して4次の整式からなる近似式を作って、積分を考えたい。
(1) \(f(x)\)=\(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}\)と近似できることを示せ。
(2) 正規分布から\( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)を求め、
手計算から\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)の結果と比較せよ。

問(1)の回答

テイラー展開は教科書どおりで、\(x=0\)のまわりで、テイラー展開すると
\(f(x)\)=\(f(0)\)+\(\frac{f^{(1)}(0)}{1!} x^1\)+\(\frac{f^{(2)}(0)}{2!} x^2\)+\(\frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3\)+\(\frac{f^{(4)}(0)}{4!} x^4\)+…

どんどん微分しましょう。この微分は良い練習です。是非計算しましょう!
●\( f^{(1)}(x)\)=\(-x e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(2)}(x)\)=\((-1+x^2) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(3)}(x)\)=\((-x^3+3x) e^{-\frac{x^2}{2}}\)
●\( f^{(4)}(x)\)=\((x^4-6x^2+3) e^{-\frac{x^2}{2}}\)

より、\(x=0\)を代入して、\(f(x)\)の近似式を計算すると、
●\( f^{(1)}(0)\)=0
●\( f^{(2)}(0)\)=-1
●\( f^{(3)}(0)\)=0
●\( f^{(4)}(0)\)=3
となるので、

\(f(x)\)=1-\(\frac{1}{2} x^2\)+\(\frac{1}{8} x^4\)

近似式の概形と正規分布の概形を描いてみる

近似式は4次関数で高2レベルですね。Excelでグラフを描いてみましょう。

正規分布

確かに、\(x=0\)付近は2つのグラフは重なっていますね。近似値からでも正規分布の定積分は精度よく求められそうですね。

➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう!(高2レベル)

問(2)を再掲

正規分布の分布関数\(f(x)\)=\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)をテイラー展開して4次の整式からなる近似式を作って、積分を考えたい。
(2) 正規分布から\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)を求め、
手計算から\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)の結果と比較せよ。

では、2つの関数の積分を解いてみましょう。

正規分布表から確認

正規分布表から値を読みます。正規分布表の読み方は大丈夫でしょうか?一応解説します。

Kp *=0 *=1 ・・・  *=9
0.0* 0.5 0.496 ・・・ ・・・
・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・
1.0* 0.1587 0.1562 ・・・  ・・・
1.1* 0.1357 ・・・  ・・・  ・・・
・・・ ・・・ ・・・ ・・・ ・・・

上表のマーカ部でKp=1.00の値「0.1587」を見ますが、
これは、\( \displaystyle \int_{1}^{∞}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)の値なので、
0.5-0.1587=0.3413が、求めたい積分値\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx \)です。

何を言っているかわからない場合は、正規分布の基礎を復習しましょう。関連記事を紹介します。

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近似式の定積分

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)を計算します。高2レベルです。

\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2π}}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8})dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{103}{120}\)=0.3425
となります。この計算もやってみてください。

積分値の比較

●正規分布の場合は、0.3413
●近似式の場合は、0.3425
とほぼ一致していますね。差は0.4%!

グラフ見れば、x=0~1の区間は2つのグラフのyの値はほぼ一致していますね。

正規分布

以上、
①微分を計算してわかる正規分布の概形
➁正規分布の概形近似式の作り方
➂定積分の値の比較
を解説しました! 正規分布にだいぶ慣れたはずです!

まとめ

「【初心者必見!】正規分布の概形、近似式、定積分が解ける!(高校数学で解ける!)」を解説しました。

  • ①正規分布の概形を描いてみよう!(高3レベル)
  • ➁正規分布に近いグラフを描いてみよう!(高3レベル)
  • ➂正規分布の積分の近似値を解いてみよう!(高2レベル)


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