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【初心者必見!】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる

基本統計量

「正規分布、二項分布、ポアソン分布ってどれくらい違いのかがわからない」などと困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【初心者必見!】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる

おさえておきたいポイント

  • ①3つの分布の分布関数、期待値、分散
  • ➁正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較
●正規分布:\(\frac{1}{\sqrt{2π}σ} e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}\)
●二項分布:\({}_n C_r p^r (1-p)^{n-r}\)
●ポアソン分布:\(e^{-λ} \frac{λ^x}{x!}\)
って式が全く別物だけど
ぴったりそろうんだよね!

正規分布、二項分布、ポアソン分布のグラフがぴったりそろえてみましょう。

①3つの分布の分布関数、期待値、分散

さて、正規分布、二項分布、ポアソン分布の
確率密度関数、期待値、分散は答えられますか?

導出もよいですが、初心者は暗記から入ってもOKです。

二項分布、ポアソン分布の期待値と分散は関連記事で丁寧に導出しています。ご覧ください。

【初心者必見!】二項分布の期待値と分散が解ける(高校数学で解ける!)
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【初心者必見!】ポアソン分布の期待値と分散が解ける(高校数学で解ける!)
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下表に結果をまとめます。さっと書き出せるかを確認してください。

分布 確率密度関数 期待値E 分散V
正規分布 \(f(x)\)=\(\frac{1}{\sqrt{2π}σ} ・exp(-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2})\) \(μ\) \(σ^2\)
二項分布 \(f(x)\)=\({}_n C_x p^x・(1-p)^{n-r}\) \(np\) \(np(1-p)\)
ポアソン分布 \(f(x)\)=\(e^{-λ}・\frac{λ^x}{x!}\) \(λ\) \(λ\)

➁正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較

パラメータをそろえる

ここで、正規分布、二項分布、ポアソン分布の期待値、分散のパラメータをそろえます。つまり、

分布 期待値E 分散V
正規分布 \(μ\) \(np\) \(σ^2\) \(np(1-p)\)
二項分布 \(np\) \(np\) \(np(1-p)\) \(np(1-p)\)
ポアソン分布 \(λ\) \(np\) \(λ\) \(np\)

とパラメータをそろえます。

正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較

ここで、(n,p)=(100,0.2)と(n,p)=(1000,0.02)を代入して、3つの分布関数のグラフを描いて比較しましょう。

正規分布

正規分布

2つの場合とも、ほぼ3つの分布関数が重なりましたね。n=100の方は数が少ないこともあり、ポアソン分布だけ少しずれますが、n=1000まで増やすとほぼぴったりそろいます。

標本数が大きい場合は
正規分布で考えればOKといえますね。

学問的には、正規分布、二項分布、ポアソン分布は別物ですが、
実務上は同じとして扱ってもよいでしょう。

まとめ

「【初心者必見!】正規分布、二項分布、ポアソン分布が比較できる」を解説しました。

  • ①3つの分布の分布関数、期待値、分散
  • ➁正規分布、二項分布、ポアソン分布を比較


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