2022/01/08 (更新日: 2023/12/10)

R管理図で範囲Rの平均差の検定ができる

管理図

「R管理図で範囲Rの平均の差を検定せよと聞かれたけど、どうやって解くかわからない」、などと困っていませんか？

こういう期待に答えます。

本記事のテーマ

• ①範囲Rの平均差の検定事例
• ②２つの母平均差の検定で解く
• ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

記事の信頼性

記事を書いている私は、管理図の係数表、群内変動・群間変動の解き方に疑問が残りました。そこで、管理図の理論を研究しました。その成果をブログで解説します。

①範囲Rの平均差の検定事例

事例問題

次の問いを考えます。管理図から検定・推定につなぐ重要な応用問題としてとらえてください。良問です。

演習問題

(1)(2)は基本問題で、(3)が本記事のメイン問題となります。

\(\bar{X}\)-R管理図を作成

(i)AB全体の場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X}}\)=1.256
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=\(\bar{\bar{X}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256-0.577×3.56=-0.798
◎UCL=\(\bar{\bar{X}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R}\)
=1.256+0.577×3.56=3.31

●R管理図について、
◎\(\bar{R}\)=3.56
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.56=7.53

(ii)Aだけの場合

●\(\bar{X}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_A}}\)=0.59
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59-0.577×3.6=-1.49
◎UCL=\(\bar{\bar{X_A}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_A}\)
=0.59+0.577×3.6=2.66

●R管理図について、
◎\(\bar{R_A}\)=3.6
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R}\)
=2.114×3.6=7.61

(iii)Bだけの場合

●\(\bar{X_B}\)管理図について、
◎\(\bar{\bar{X_B}}\)=2.26
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)-\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26-0.577×3.5=0.24
◎UCL=\(\bar{\bar{X_B}}\)+\(A_2\)×\(\bar{R_B}\)
=2.26+0.577×3.5=4.28

●R管理図について、
◎\(\bar{R_B}\)=3.5
◎LCL=0(なし)　(n > 6より)
◎UCL=\(D_4\)×\(\bar{R_B}\)
=2.114×3.5=7.40

管理図をまとめると、A,Bの違いが見やすくなります。

AとBの違いを検定しましょう。

②２つの母平均差の検定で解く

検定統計量

２つの母平均差の検定をする場合の検定統計量は、
t=\(\frac{\bar{R_B}-\bar{R_A}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
ですね。おなじみの式です。なお、
tはt分布、自由度φ=\(n_1\)+\(n_2\)-1とします。

検定統計量を計算

各値を算出します。
●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
●分散：\(\bar{V_A}\)=2.38
●分散：\(\bar{V_B}\)=2.23
●自由度：\(\bar{n_A}\)=15
●自由度：\(\bar{n_B}\)=10

これを検定統計量に代入します。
t=\(\frac{\bar{R_A}-\bar{R_B}}{\sqrt{\frac{V_1}{n_1}}+\frac{V_2}{n_2}}\)
=\(\frac{3.6-3.5}{\sqrt{\frac{184.187}{15}}+\frac{113.62}{10}}\)
=0.34

検定結果

●t(φ、α)=t(15+10-1,0.05)=2.06
と比較すると
t=0.34 > 2.06
より、有意差が無いと言えます。

以上より、管理図から有意差を検定する検定問題の応用パターンを解説しました。
でも、これだけだと、別に記事にすることはありません。

③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

古書の紹介

1960年出版の「品質管理教程　管理図」P226,P285をベースに解説します。

そのため、QCプラネッツでは、古書の優れた理論をわかりやすく解説し、今の時代に合った内容に解説しています。

古書の解法を紹介します。

古書の解法

次の6点で解いていきます。

1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表

これも、古書「森口繁一　品質管理(1953) P282」に書いていますが、導出方法はわかりません。なので、今はこの解法を推奨しません。

特殊な表は下表にまとめます。

F検定で解く

古書の解法で解いてみましょう。
次の6点で解いていきます。

1. \(\frac{\bar{R_A}}{c_A}\)=\(V_A\) (不偏分散)なる\(c_A\)を特殊な表から導出
2. \(c_A\)は群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
3. \(V_A\) (不偏分散)を計算
4. 自由度\(φ_A\)を群の大きさnと点の数kから決まる特殊な表から求める
5. Bについても同様に計算して、\(V_B\),\(φ_B\)を計算
6. \(V_A\)と\(V_B\)の比からF検定を実施

●各値は
●範囲：\(\bar{R_A}\)=3.6
●範囲：\(\bar{R_B}\)=3.5
●\(\bar{C_A}\)=2.33 (n=5,k=15のcの値)
●\(\bar{C_B}\)=2.34 (n=5,k=10のcの値)
●自由度：\(φ_A\)=54.6 (n=5,k=15のφの値)
●自由度：\(φ_B\)=36.5 (n=5,k=10のφの値)
●分散：\(\bar{V_A}\)=\((\frac{\bar{R_A}}{c_A})^2\)
=\((\frac{3.6}{2.33})^2\)
=2.39
●分散：\(\bar{V_B}\)=\((\frac{\bar{R_B}}{c_B})^2\)
=\((\frac{3.5}{2.34})^2\)
=2.24

よって、F検定は
F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= \(\bar{V_A}\)/\(\bar{V_B}\)
=1.07
なお、F(\(φ_A\),\(φ_B\),α)= F(54.6,36.5,0.05)ですが、
自由度は自然数なので、F検定表から近い値を使います。
それは、F(60,40,0.05)=1.64
を使います。

●F=1.07 > 1.64
より、有意差は無いという結果がでます。

t分布で計算した母平均の差の検定と同じ結果になりましたね。

いくつかの解法を使って比較すると理解が深まりますね。

まとめ

R管理図で、平均差を検定する方法を解説しました。

• ①範囲Rの平均差の検定事例
• ②２つの母平均差の検定で解く
• ③(参考)特殊な表を使ってF検定で解く

管理図

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