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回帰直線の区間推定が導出できる(その1)

回帰分析

「回帰直線の区間推定の求め方かがわからない」など、疑問に思いませんか?

こういう疑問に答えます。

2回に分けて解説します!

本記事のテーマ

回帰直線の区間推定が導出できる(その1)

おさえておきたいポイント

  • ①回帰直線の推定区間とは(その1)
  • ➁【重要】回帰直線の区間推定導出のポイント(その1)
  • ➂導出過程に必要な値を事前に計算(その1)
  • ➃回帰直線の傾き\(a\)の期待値と分散を導出(その2)
  • ➄回帰直線の\(y\)切片の\(b\)の期待値と分散を導出(その2)
  • ⑥回帰直線の区間推定領域を図示(その2)

①回帰直線の推定区間とは

回帰直線の求め方は、関連記事に書いています。

回帰分析と相関係数をマスターする
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回帰直線が導出できることを前提として、区間推定を解説します。

回帰直線の区間推定とは

下図のように、回帰直線には、区間推定の領域があります。

回帰直線

回帰直線の係数の推定区間を導出

回帰直線には、区間推定の領域があり理由は簡単で、

実データ\(y_i\)はランダムな誤差とする残差\(ε_i\)が入り、
ばらつきを与えるので、
回帰直線の傾き\(a\)とy切片\(b\)もばらつくため、
区間推定を考える必要があります。

回帰直線の係数の推定区間の式が難しい

要するに

回帰直線の傾き\(a\)とy切片\(b\)
の区間推定の式が出来ればOKですが、
●傾き\(a\)は、平均\(a\),分散が\(\frac{σ^2}{S_{xx}}\)の正規分布に従い、
●y切片\(b\)は、平均\(b\),分散が\(σ^2(\frac{1}{n}+\frac{\bar{x^2}}{S_{xx}}))\)の正規分布に従うのですが、
どうやってこの式になるのか?疑問ですよね!
導出できない公式は使うな!
式の導出をちゃんと理解しよう!

ということで、本記事で導出していきます。

平均は理解できるけど、分散の式が意味不明ですよね!

なので、以下の流れで解いていきます。

  1. まず、導出の途中過程で必要な式を事前に計算
  2. 回帰直線の傾き\(a\)の期待値と分散を導出
  3. 回帰直線の\(y\)切片の\(b\)の期待値と分散を導出
  4. 回帰直線の区間推定領域を図示

➁【重要】回帰直線の区間推定導出のポイント

回帰直線の傾き\(a\)と\(y\)切片の\(b\)の期待値と分散を導出する際に、最も意識してほしいのは、

誤差を含むのは\(y_i\)だけ。
\(x_i\)だけの式は定数扱いで変形していくこと

分散V[a]の式の[a]の中から外にさらっと出す式変形が多々でてきますが、
変数は\(y\)に関わるものとしてみてください。ここが抜けると式変形が完全に理解できません。

➂導出過程に必要な値を事前に計算

必要に応じて計算する値を解説します。読み飛ばしていただいてOKですが、
「➃回帰直線の傾き\(a\)の期待値と分散を導出」
「➄回帰直線の\(y\)切片の\(b\)の期待値と分散を導出」
「⑥回帰直線の区間推定から\(\hat{y_i}\)の期待値と分散を導出」
で何度か、引用しますので、都度戻ってきてください。

各値の定義

平均\(\bar{x},\bar{y}\)、回帰直線に乗る点\(\hat{x_i},\hat{y_i}\)の位置関係を下図にあります。分散分析も含めた関連記事で復習しましょう。

回帰分析

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事前に導出した値は以下の通りです。

  1. V[\(y_i\)]=\(σ^2\)
  2. V[\(\bar{y}\)]=\(\frac{σ^2}{n}\)
  3. 共分散の性質で、\(X_i\)と\(Y_j\)が互いに独立ならば、
    ●Cov(\(X_1+X_2\),\(Y_1+Y_2\))=
    Cov(\(X_1\),\(Y_1\))+ Cov(\(X_1\),\(Y_2\))
    +Cov(\(X_2\),\(Y_1\))+ Cov(\(X_2\),\(Y_2\))
  4. \(σ^2\)は計測できないので、\(σ^2\)=Ve=\(\frac{Se}{Φe(=n-2)}\)を使う

さっと導出します。

V[\(y_i\)]=\(σ^2\)の導出

データ\(y_i\)は、\(x_i\)、回帰直線の傾き\(a\)、y切片\(b\)と
正規分布N(0,\(σ^2\))に従う(と仮定する)誤差\(ε_i\)を使って、

\(y_i\)=\(ax_i+b+ε_i\)

と表現できます。

誤差\(ε_i\)のばらつきによって、回帰直線の区間推定幅があると考えるので、
V[\(y_i\)]=V[\(ax_i+b+ε_i\)]=V[\(ε_i\)]=\(σ^2\)
とします。

分散V[\(\bar{y}\)]=\(\frac{σ^2}{n}\)の導出

\(\bar{y}\)=\(\frac{1}{n}(y_1+y_2+…+y_n)\)より、
V[\(\bar{y}\)]=V[\(\frac{1}{n}(y_1+y_2+…+y_n)\)]
=\(\frac{1}{n^2}\) (V[\(y_1\)]+ V[\(y_2\)]+…+V[\(y_n\)])
=\(\frac{n}{n^2}\) (V[\(y_i\)])
=\(\frac{σ^2}{n}\) (V[\(y_i\)]=\(σ^2\)より)

共分散Covの性質

共分散の性質で、\(X_i\)と\(Y_j\)が互いに独立ならば、
●Cov(\(X_1+X_2\),\(Y_1+Y_2\))= Cov(\(X_1\),\(Y_1\))+ Cov(\(X_1\),\(Y_2\))+ Cov(\(X_2\),\(Y_1\))+ Cov(\(X_2\),\(Y_2\))
となります。

\(σ^2\)は計測できないので、\(σ^2\)=Ve=\(\frac{Se}{Φe(=n-2)}\)を使う

「⑥回帰直線の区間推定から\(\hat{y_i}\)の期待値と分散を導出」のところで使う値です。

以上、回帰直線の区間推定を求めるための下ごらえが終わりましたので、(その2)で導出過程を解説します。

まとめ

「回帰直線の区間推定が導出できる(その1)」を解説しました。

  • ①回帰直線の推定区間とは(その1)
  • ➁【重要】回帰直線の区間推定導出のポイント(その1)
  • ➂導出過程に必要な値を事前に計算(その1)
  • ➃回帰直線の傾き\(a\)の期待値と分散を導出(その2)
  • ➄回帰直線の\(y\)切片の\(b\)の期待値と分散を導出(その2)
  • ⑥回帰直線の区間推定領域を図示(その2)


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