確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】

分布に関係なく、確率密度関数があります。その特徴は何でもよいですが、

何でもいいので、確率密度関数という難しい言葉へのアレルギーを回避しましょう。

\(f(x)=\frac{1}{2500}(-(x-50)^2+2500)\)
\(f(x)=\frac{1}{2} e^{|x|}\)

グラフを描いてみましょう。分布関数の感じが出て、その関数の全区間の積分値が1となっています。

これが確率密度関数です。

●確率は、∫f(x)dx　です。
●期待値E[X]は E[X]=∫xf(x)dx です。
またE[X²]=∫x²f(x)dx です。
●分散はV[X]=E[X]²– E[X²]です。

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いきなり、

がすぐわかる例題を紹介します。

期待値の計算方法は、確率×出る目の合計ですよね。
(1)期待値E=\(\frac{1+2+3+4+5+6}{6}\)=\(\frac{21}{6}\)=3.5
(2)出る目と確率を整理しましょう。

期待値E=\(\frac{2×1+3×2+・・・+12×1}{12}\)
=7
また、１個の目の期待値の倍としてもよいですね。

統計の難解な数式に早く慣れる方法を提案します。数学の得意・不得意関係なく、数式の意味を読み取るには結構時間がかかります。よく使う方法が２つあります。

★難しい数式の読み方

先の、サイコロ１との出る目の期待値の計算は。
E=1×\(\frac{1}{6}\)+2×\(\frac{1}{6}\)+・・・+6×\(\frac{1}{6}\)
=\(\frac{21}{6}\)=3.5
ですね。数字1から6は｢出る目｣の値で、\(\frac{1}{6}\)は確率ですね。

出る目を\(x_i\)、出る目\(x_i\)の確率を\(p_i\)、和をΣで書き直します。

ここで確率\(p_i\)を確率密度関数f(x)に変えて定義することもあります。その場合、2つ定義を変えます。

期待値Eは
●E=\(\int xf(x) dx\)
となります。∫も関数も出てきましたが、基本は
●E=\(\sum_{i=1}^{n} x_i p_i\)
です。見た目は違いますが、サイコロの出る目の期待値を求める式と同じです。

★期待値の加法性

加法性に慣れるポイントについて、
具体的な例で理解しましょう。期待値の基本はサイコロの出た目の計算ですね。

➀は(\(1×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6×\frac{1}{6}\))=\(\frac{21}{6}\)=3.5
を3倍しますから、3.5×3=10.5です。

②は(\(1×\frac{1}{4}\)+・・・+\(4×\frac{1}{4}\))=\(\frac{10}{4}\)=2.5
を2倍しますから、2.5×2=5です。

さらに5を足すので、期待値は10.5+5+5=21.5です

一方、期待値の加法性を使うと、
●E=E[aX+bY+c]
に、a=3,b=2,c=5,E[X]=3.5,E[Y]=2.5を代入します。
●E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c=3×3.5+2×2.5+5=21.5
と結果が一致します。

期待値の加法性の公式を使ってもよいし、サイコロの出る目の式のまま解いてもよいのです。
慣れないうちはサイコロの出る目の計算で
慣れたら一般化の式を理解していきましょう。

★期待値の加法性がわかるポイント

期待値の加法性に少し慣れたら、次の計算をしてみましょう。

➀は加法性で出たE[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+cを使えばよいです。でも、E[\(X^2\)]はどうしましょうか？ 抵抗感がありますが、次の例題で解決します！

➀は(\(1×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6×\frac{1}{6}\))=\(\frac{21}{6}\)=3.5ですね。
②は機械的にそのまま2乗を式に入れます。

E[\(X^2\)]=(\(1^2×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6^2)×\frac{1}{6}\)
=\(\frac{(1+4+9+16+25+36)}{6}\)
=\(\frac{91}{6}\)ですね。

\(x^2\)の期待値とはどういう意味か？が気になりますが、あまり気にしないで代入してください。

ですから、E[\(X^3\)]を求めようとすると、
E[\(X^3\)]=(\(1^3×\frac{1}{6}\)+・・・+\(6^3×\frac{1}{6}\))となります。

出る目Xを変数にして、いろいろな変数を代入することに慣れてください。ここが分散の導出に必要です。期待値Eはサイコロの出る目の計算であることは変わりませんが、E[X]に変数Xをいろいろ代入するように慣れていきましょう。

★分散の定義

上の式が理解するための3つのポイントを解説します。

★分散の定義で理解したポイント

★(A)E\((X-E[X])^2\)の意味

分散の定義は、各データと平均との差を2乗した和を個数で割る値ですね。式で書くと、
\(V=\frac{(x_i-μ)^2}{n}\)
になります。

ここで、
(あ)\(x_i\)をX
(い)μをE[X]に変え、
(う)全体の\(\frac{1}{n}\)は平均Eとすると、
\(V=\frac{(x_i-μ)^2}{n}\)
=\(\frac{(X-E[X])^2}{n}\)
=E[\((X-E[X])^2\)]
に変えることができます。

(あ)(い)は文字を変えるだけで理解しやすいです。(う)は理解しづらいので解説します。

個数nで割るは、全体を平均値とすると同じですね。なので、全体に期待値E[]をつけることになります。

★(B)\(E[X^2]-E[X]^2\)になる理由

次で解説します。

E[X]に慣れるために、教科書やwebサイトのように途中経過を省かずに計算します。

V[X]
=E[\((X-E[X])^2\)]
=E[\(X^2-2XE[X]+E[X]^2\)]
ここは、\((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)です。
=E[\(X^2\)]-E[2XE[X]]+E[\(E[X]^2\)]

各項をばらばらにしました。
さて、ここでE[X]は平均値μで、変数ではなく定数ですよね。
=E[\(X^2\)]-E[2Xμ]+E[\(μ^2\)]
=E[\(X^2\)]-2μE[X]+\(μ^2\)
平均値μは定数なので、E[]の外に出せます。

さらに、定数μ=E[X]に戻します。ここの変形が強引ですけど。
=E[\(X^2\)]-2 E[X]E[X]+\( E[X]^2\)
= E[\(X^2\)]-\( E[X]^2\)
よって、
V[X]= \(E[X^2]-E[X]^2\)

分散の導出過程をよく見て、期待値E[X]、E[\(X^2\)]アレルギーを無くしていきましょう。ここがクリアーすれば、回帰分析、分散分析、検定などの理解が早くなります。

では、いくつか演習問題を解いて、公式に慣れましょう。

という感覚でOKです。

【解】大学入試で出題された問題です。実際に書き出して、期待値と分散を計算します。

上表をもとに、数列を使って期待値、分散を計算します。

●期待値E(X)は
E(X)=1・\(\frac{2}{10}\)+2・\(\frac{1}{10}\)+3・\(\frac{2}{10}\)+4・\(\frac{1}{10}\)+5・\(\frac{2}{10}\)+7・\(\frac{1}{10}\)+9・\(\frac{1}{10}\)=4

●分散V(X)は
V(X)=\((1-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((2-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((3-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((4-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((5-4)^2\)・\(\frac{2}{10}\)+\((7-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)+\((9-4)^2\)・\(\frac{1}{10}\)=6

数列を使った１問でした。

サイコロの問題は超有名なので、是非解きましょう。

1つ目のサイコロの目と２つ目のサイコロの目の出方はそれぞれ独立とします。
●E(X)=\(\frac{1}{6}\)(1+2+3+4+5+6)=\(\frac{7}{2}\)
●E(X²)=\(\frac{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)\)=\(\frac{91}{6}\)
●E(X)E(Y)=E(X)E(Y)= \(\frac{49}{4}\)
を使って問を解きます

(1)
● E(X+Y)=E(X)+E(Y)= \(\frac{7}{2}\)+\(\frac{7}{2}\)=7
●E((X+Y)²)=E(X²)+2E(X)E(Y)+E(Y²)
= \(\frac{91}{6}\)+2・\(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)+ \(\frac{91}{6}\)= \(\frac{329}{6}\)
●V(X+Y)= E((X+Y) ²)- E(X+Y) ²
=\(\frac{329}{6}\)-49=\(\frac{35}{6}\)

(2)
● E(XY)=E(X)E(Y)= \(\frac{7}{2}\)・\(\frac{7}{2}\)=\(\frac{49}{4}\)
●E((XY)²)=E(X²)・E(Y²)= \(\frac{91}{6}\)・\(\frac{91}{6}\)= \(\frac{8281}{36}\)
●V(XY)= E((XY)²)- E(XY) ²=\(\frac{8281}{36}\)-\(\frac{2401}{16}\)=\(\frac{11515}{144}\)

機械的に計算しながら、公式や数列の計算に慣れていきましょう。

【問3】、【問4】は積分の演習問題です。

高校数学ですね。簡単な式で期待値、分散の積分計算に慣れていきましょう。

(1) \( \displaystyle \int_{-3}^{3} f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{3}x^3+9x \right]_{-3}^{3}\)=1
全区間の積分、つまり、全確率は合計１です。そりゃ、そうですよね！

(2)
●E[X]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{4}x^4+\frac{9}{2}x^2 \right]_{-3}^{3}\)=0
となります。確かにy軸に対象な関数なので、平均は0ですね！確かに！

●E[X²]= \( \displaystyle \int_{-3}^{3} x^2f(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{-3}^{3} \frac{1}{36}x^2(-x^2+9)dx \)
=\(\frac{1}{36}\)\(\left[ -\frac{1}{5}x^5+3x^3 \right]_{-3}^{3}\)=\(\frac{9}{5}\)
より、
●V[X]= E[X²]―E[X] ²=\(\frac{9}{5}\)

積分慣れていきましょう。
●E[X]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} xf(x)dx \)
●E[X²]= \( \displaystyle \int_{a}^{b} x^2 f(x)dx \)
を定義どおり、積分すれば確率・期待値・分散は計算できます。

(1)は離散系なので数列∑、(2)は連続系なので積分を使います。同じ問題ですが、連続系と離散系で計算結果が若干変わる点が面白いので、解いてみましょう！

(1)
●期待値E=\(\sum_{i=1}^{n} i \frac{1}{n}\)=\(\frac{1}{n} \frac{1}{2}n(n+1)\)=\(\frac{1}{2}(n+1)\)
●分散V＝\(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}(i-\frac{n+1}{2})^2 \)=\(\frac{1}{12}(n+1)(n-1)\)

(2)
●期待値E=\( \displaystyle \int_{0}^{n} xf(x)dx \)=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x \frac{1}{n})dx \)=\(\frac{n}{2}\)
●分散V＝E(X²)-E(X) ²=\( \displaystyle \int_{0}^{n} x^2 f(x)dx \)-\((\frac{n}{2})^2\)=\(\frac{n^2}{12}\)

表にすると、離散系と連続系で結果が若干かわります。

以上、数列・積分を使って、確率・期待値・分散が計算できることを確認しました。

「確率変数の期待値と分散が計算できる【初心者向け】」を解説しました。