【簡単】高校数学で十分できる二項分布【初心者向け】
「正規分布、二項分布、ポアソン分布の公式を覚えるのが大変」、「二項分布って何？」、「正規分布がなぜ出てくるの？」、「OC曲線にも二項分布が出てくるけど何で？」など困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
二項分布を理解するポイント
- ➀高校数学の確率を復習
- ②二項分布の期待値・分散は暗記
- ③二項分布の正規分布化を実例で体験
- ④OC曲線に二項分布が必須
記事の信頼性
記事を書いている私は、QC検定®１級合格し、つまずきやすいQC検定®2級挑戦者に難解な確率密度関数をわかりやすく解説しています。
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さっそく見ていきましょう。
➀高校数学の確率を復習
統計学や品質管理を勉強しているあなたは、高校数学をすでに勉強しているはずです。確率の良問を見ながら、二項分布に入っていきましょう。
1がr回出る確率をPrとする。
(1) Prをrの式で表せ。
(2) Prが最大になるrはいくらか。
(1)は組み合わせの確率問題ですね。
600回のうち、n回1(確率1/6)が出て、600-n回はそれ以外(確率5/6)が出ます。
どのn回に1が出るかは組み合わせで求めましたよね。式でまとめます。
Pr=\( _nC_r p^r (1-p)^{n-r} \)
を使いますね。わからない場合は高校数学確率の章に戻って復習しましょう。
n=600,p=\(\frac{1}{6}\)を代入すればよいです。
よって、
Pr=\( {}_{600}C_r (\frac{1}{6})^r (\frac{5}{6})^{600-r} \)
(2)は解いてみてください。詳細は解説集に載せています。ご覧下さい。答えはr=100のときです。
確率\(\frac{1}{6}\)で600回振るから100回になるのも納得できます。
(1)の式を見ると、二項分布の式そのものですね。
高校数学を学んでいれば二項分布の式は書けるはずです。大学の難しい数学ではありませんね。
②二項分布の期待値・分散は暗記
●分散V[X]=np(1-p)
高校数学で期待値と分散は証明できるのですが、意外と難しいです。
しかし、計数値の検定・推定（母不適合品率がある場合の検定・推定）や
計数値管理図(pn管理図、p管理図)に二項分布が使われます。
検定や管理図を使いこなせるレベル（資格でいうとQC検定®2級合格レベル）までは
期待値と分散は公式暗記でよいです。
なお、期待値E[X]=np、分散V[X]=np(1-p)の証明はここに記載しています。
➀の例題で、サイコロ１個をn=600回、確率p=\(\frac{1}{6}\)ですか、np=100が期待値となります。
③二項分布の正規分布化を実例で体験
実際にやってみましょう。
サイコロ1個から6個についてxとPxの関係をグラフに図示せよ。
サイコロが1個2個の場合
●サイコロが1個の場合
| 目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 回数 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
回数を6で割ると確率Pになりますね。
●サイコロが2個の場合
| 目 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 回数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
回数を36で割ると確率Pになりますね。
サイコロ1個,2個の場合についてグラフを描くと、次のとおりです。二項分布とはいえ、直線で角々していますね。
サイコロが3個以上の場合
同様にサイコロの数を増やしていきます。その結果、滑らかな曲線になっていき、正規分布に近い形になっていますね。サイコロの数の目の出方は一見、正規分布とは関係がありませんが、データが増えるにつれて正規分布近似できるようになります。これが科学・社会データも同じことが言えます。不思議ですね。
ここで大事なのは、二項分布に従うデータも数が増えると正規分布に近づくことを実例で理解することです。教科書暗記せず、体感することが大切です。なお、サイコロの場合、たったn=3で正規分布に従う形になります。
最初から二項分布を使わずに正規分布で考えても良いかもしれませんね。
二項分布の理解を深める演習問題を解きましょう
理解度のアップと、QC検定®２級の合格と一石二鳥です。
●基本統計量の演習問題【QC検定®2級対策】
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④OC曲線に二項分布が必須
抜取検査で必須なOC曲線(Operating Characteristic curve)に二項分布の式が必須です。
OC曲線は丸暗記する人が多いので、式で理解しましょう。解説します。
OC曲線の目的
OC曲線は合格率L(p)と不良率pの関係を見るわけですから、縦軸はL(p)、横軸はpですね。
次にL(p)の式を作りましょう。
式で書くと
\( \sum_{r=0}^{c} {}_nC_r p^r(1-p)^{n-r} \)
と書けます。
OC曲線は、不良率から消費者危険、生産者危険、(n,c)によるグラフの関係性を見ます。これは抜取検査の記事で詳細に解説します。
大事なのは、OC曲線は二項分布の式で作ることです。グラフの性質を丸暗記せず、式で理解しましょう。式で理解した方が、応用が効くからです。
なお、いろいろな(n,c)の場合のOC曲線を見ましょう。ここまでグラフ化した図は本記事以外にありません。エクセルとVBAを使ってグラフにしました。貴重なデータですよ。
まとめ
二項分布は確率分布の一種と見ずに、高校数学の確率の延長にあるものです。二項分布は、正規分布に近づく不思議な性質があります。また、抜取検査のOC曲線のベースにもなります。高校数学で書ける易しい分布であると理解できます。
- ➀高校数学の確率を復習
- ②二項分布の期待値・分散は暗記
- ③二項分布の正規分布化を実例で体験
- ④OC曲線に二項分布が必須
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