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基本統計量の演習問題【QC検定2級対策】

QC検定2級

「QC検定2級合格に必要な基本統計量を速く解けるようになりたい?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

基本統計量の演習問題

基本統計量の演習問題

  • 問1.平方和の計算問題
  • 問2.確率分布関数と期待値と分散
  • 問3.分散の加法性
  • 問4.二項分布とポアソン分布
  • 問5.分散の加法性と正規分布の標準化
シンプルな問題ですが、重要な公式やパターンを網羅しています。制限時間内にさっと解けるかどうか何度も見てチェックしましょう。

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問1.平方和の計算問題

問1 以下のデータの平方和S,不変分散V,標準偏差sを計算せよ。
持ち時間5分
10 8 12 16 15 18
9 5 13 17 7 5
11 13 8 5 3 8

合計=183

平方和S
不偏分散V
標準偏差

解説(クリックで開きます)

2乗表を作ってさっと計算しましょう。

10 8 12 16 15 18
9 5 13 17 7 5
11 13 8 5 3 8

合計:2203

● \(S=\sum_{i}^{18} x_i^2 – \frac{(\sum_{i}^{18}x_i)^2}{18}\)
=2203-1832/18=342.5
●V=S/(n-1)=342.5/17=20.15
●s=\(\sqrt{V}\)=4.49

よって、

平方和S 342.5
不偏分散V 20.15
標準偏差 4.49

問2.確率分布関数と期待値と分散

問2 次の各分布の確率密度関数f(x),期待値E,分散Vを求めよ。
持ち時間3分
確率密度関数f(x) 期待値E 分散V
正規分布
二項分布
ポアソン分布

解説(クリックで開きます)

検定と推定、管理図に同じ公式があるので、まずは公式を暗記しましょう。

確率密度関数f(x) 期待値E 分散V
正規分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}exp(-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2})\) μ σ2
二項分布 f(x)=nCxPx(1-p)n-x np np(1-p)
ポアソン分布 \(f(x)=e^{-λ}\frac{λ^x}{x!}\) λ λ

問3.分散の加法性

問3 ある確率分布Xは期待値10、標準偏差2の正規分布に従っている。
以下の各場合の期待値と標準偏差を求めよ。持ち時間5分
(1) この確率分布Xが一律5だけ増加した場合、期待値と標準偏差はいくらになるか。
(2) この確率分布Xが一律3倍になった場合、期待値と分散はいくらになるか。
(3) この確率分布Xが同じ確率分布Xと合成させる場合、期待値と分散はいくらになるか。
(4) この確率分布Xが(2)の拡大した確率分布Xと合成する場合、期待値と分散はいくらになるか。
(5) この確率分布Xから期待値6,標準偏差3の確率分布Yを引き抜いたとき、残った分布の期待値と分散はいくらになるか。
(1) (2) (3) (4) (5)
期待値
標準偏差

●You tube動画ご覧ください。

解説(クリックで開きます)

(1)~(5)のパターンがよく出題されます。それぞれの違いを意識して計算しましょう。

(1)期待値だけ変化します。 
●期待値=10+5=15
●分散=V(5+a)=V(a) と変わりません。
標準偏差=2

(2)期待値も分散も変化します。 
●期待値=10×3=30
●分散=V(ax)=a2V(x)=32×22=36
標準偏差=6

(3)
●期待値=10×2=20
●分散=V(ax+by)=a2V(x)+ b2V(y)=22+22=8
標準偏差=\(\sqrt{8}\)=2.83

(4)
●期待値=10+10×3=40
●分散=V(x+3x)=V(x)+ 32V(x)=22+32×22=40
標準偏差=\(\sqrt{40}\)=6.32

(5)値を引いても、分散は加算される点に注意しましょう。頻出問題です。
●期待値=10-6=4
●分散=V(x-y)=V(x)+ V(y)=22+32=13
標準偏差=\(\sqrt{13}\)=3.61

まとめると、

(1) (2) (3) (4) (5)
期待値 15 30 20 40 4
標準偏差 2 6 2.83 6.32 3.61

問4.二項分布とポアソン分布

問4 以下を求めよ。持ち時間5分
(1)不適合品率P=2%の母集団から、サンプルn=100を取り出す。取り出したサンプルのうち不適合品が0個、1個、2個になる場合の確率を二項分布からそれぞれ求めよ。
(2)不適合品を含む母集団があり、サンプル100個を取り出す。サンプル数の中に含む不適合品数は定数m=2のポアソン分布に従う。取り出したサンプルのうち、不適合品数が0個、1個以下、2個以下である確率をポアソン分布から求めよ。
ただし、計算簡略のため以下を用いてよい。
0.9898=0.1381, 0.9899=0.1353,0.98100=0.1326
exp(-2)=0.1353
不適合品数 (1)二項分布 (2)ポアソン分布
0個
1個
2個

解説(クリックで開きます)

分布が違っても確率は同じであることがわかります。計算しましょう。

(1)P(0)=100C00.022(1-0.02)100-0=0.1326
P(1)=100C10.021(1-0.02)100-1=0.2706
P(2)=100C20.022(1-0.02)100-2=0.2734

(2)P(0)=exp(-2)×20/0!=0.1353
P(1)=exp(-2)×21/1!=0.2707
P(2)=exp(-2)×22/2!=0.2707

まとめると、

不適合品数 (1)二項分布 (2)ポアソン分布
0個 0.1326 0.1353
1個 0.2706 0.2707
2個 0.2734 0.2707

問5.分散の加法性と正規分布の標準化

問5 ある金属材Aの長さは正規分布N(100,42)に従う。長さの単位はmmとし、 以下を求めよ。持ち時間5分
(1)金属材Aと金属材B(長さは正規分布N(50,32)に従う)を結合して金属材Cを作る。このつなげた金属材Cの長さの平均と標準偏差を求めよ。
(2)金属材Cの長さについて、160mm以上は不良品とみなされる。不良率はいくらか。
(3)金属材Cから一部を削った。削った部分は正規分布N(60,122)に従う。残りの金属材Cの長さの平均と標準偏差を求めよ。
(4) (3)の金属材Cを70mm以上で使いたい。使える確率を求めよ。
(1) 平均 標準偏差
(2) 確率
(3) 平均 標準偏差
(4) 確率

解説(クリックで開きます)

分散の加法性と正規分布の標準化を組み合わせた問題で、頻出です。

(1)平均:100+50=150mm,標準偏差=\(\sqrt{4^2+3^2}\)=5mm
(2)標準化Z=(160-150)/5=2 正規分布よりP=2.28%
(3)平均:150-60=90mm,標準偏差=\(\sqrt{5^2+12^2}\)=13mm
平均が減っても、分散は加法に注意しましょう。
(4)標準化Z=(90-70)/13=1.53 正規分布よりP=1-0.062=93.8%

まとめると、

(1) 平均 150mm 標準偏差 5mm
(2) 確率 2.28%
(3) 平均 90mm 標準偏差 13mm
(4) 確率 93.8%

まとめ

QC検定2級で、基本統計量の演習問題を解説しました。

問を見て、さっと解法が浮かびましたか?
苦手な箇所が見つかりましたか?
全問、持ち時間以内に解けそうですか?
チェックしましょう。
10問を1回ずつ解くのではなく、1問を10回解いて解法を覚えてしまいましょう。
試験本番に緊張した状態でも解けるよう何度も練習しましょう。
  • 問1.平方和の計算問題
  • 問2.確率分布関数と期待値と分散
  • 問3.分散の加法性
  • 問4.二項分布とポアソン分布
  • 問5.分散の加法性と正規分布の標準化

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