直列系の信頼性・故障率がよくわかる
「直列系の信頼度・故障率・MTTFの計算がわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①要素の種類
- ➁直列系の信頼度Rの計算
- ➂直列系の故障率λの計算
- ➃直列系のMTTFの計算
①要素の種類
信頼性工学では、以下の４つの要素について、それぞれ信頼度、故障率、MTTFを計算します。
要素の種類
- 直列系
- 並列系
- 待機系
- 多数決系
よく見るのは、「直列系」と「並列系」ですが、４つとも解説します。
➁直列系の信頼度Rの計算
直列系とは
これは簡単ですよね。下図のように要素を直列に並べた系のことです。
直列系の信頼度Rの計算
直列系の信頼度は、各要素の信頼度の積になります。
並べ方はシンプルですが、1以下の信頼度をどんどん掛けていくと
系全体の信頼度は低下してしまいます。
要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)とすると、全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=\(\displaystyle \prod_{i=1}^n R_i (t)\)
指数分布の場合
例として、要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)を
\(R_i (t)\)=\(e^{-λt}\)とすると、
系全体の信頼度\(R_S (t)\)は
\(R_s (t)\)=\(\displaystyle \prod_{i=1}^n e^{-λt}\)
=\(( e^{-λt})^n\)
となります。
あと、確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s (t)\)、MTTFを計算します。
➂直列系の故障率λの計算
信頼度の確率密度関数\(f_s (t)\)、故障率\(λ_s(t)\)の導出
定義どおり、
●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)
●\(λ_s(t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)
指数分布の場合
例として、要素\(i\)の信頼度を\(R_i (t)\)を
\(R_i (t)\)=\(e^{-λt}\)とすると、
\(f_i (t)\)と\(λ_i (t)\)はそれぞれ、
●\(f_i (t)\)=\(-\frac{dR_i (t)}{dt}\)=\(λ e^{-λt}\)
●\(λ_i (t)\)=\(\frac{f_i (t)}{R_i (t)}\)=\(\frac{1}{λ}\)
となります。
次に、系全体では、
●\(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)=\(nλ e^{-λt}\)
●\(λ_s (t)\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)=\(\frac{1}{nλ}\)
となります。
➃直列系のMTTFの計算
故障率の逆数である平均寿命μ(MTTF)を計算しますが、
- MTTFは\(1/λ\)
- MTTFの定義式から積分して計算
の2通り解析方法があります。それぞれ解説します。
MTTFは\(1/λ\)
単純に、
μ(=MTTF) = \(\frac{1}{λ_s (t)}\)より
指数関数の場合は、
μ(=MTTF) =\(\frac{1}{nλ}\)
と、個々の要素\(μ_i\)=\(\frac{1}{λ}\)の\(1/n\)倍になります。
それだけ、寿命が短くなり故障率が上がることがわかります。
MTTFの定義式から積分して計算
μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)を使って計算します。
μ(=MTTF)=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t f_s (t) dt\)
=\( \displaystyle \int_{0}^{∞} t (e^{-λt})^n dt\)
=\(\left[ nλ(-\frac{1}{nλ} t(e^{-λt})^n -\frac{1}{(nλ)^2 (e^{-λt})^n}) \right]_{0}^{∞}\)
=\(\frac{1}{nλ}\)
と、積分しても同じ μ(=MTTF)= \(\frac{1}{nλ}\)となります。
結果のまとめ
| – | 個別 | 全体 |
| R | \(R_i (t)\)=\(e^{-λt}\) | \(R_s (t)\)=\(\displaystyle \prod_{i=1}^n R_i (t)\)=\((e^{-λt})^n\) |
| f | \(f_i (t)\)=\(-\frac{dR_i (t)}{dt}\)=\(λ e^{-λt}\) | \(f_s (t)\)=\(-\frac{dR_s (t)}{dt}\)=\(nλ e^{-λt}\) |
| λ | \(λ\)=\(\frac{f_i (t)}{R_i (t)}\)=λ | \(λ\)=\(\frac{f_s (t)}{R_s (t)}\)=nλ |
| μ | \(μ\)=\(\frac{1}{λ}\) | \(μ\)=\(\frac{1}{nλ}\) |
まとめ
「直列系の信頼性・故障率がよくわかる」を解説しました。
- ①要素の種類
- ➁直列系の信頼度Rの計算
- ➂直列系の故障率λの計算
- ➃直列系のMTTFの計算
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