【必読】全分散の公式の導出がわかる

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QC検定®１級、２級でサンプリングの問題で苦戦していませんか？本記事では、QC・統計に勝てるためのサンプリング問題集(2０題)を紹介します。

「２段サンプリングの分散」の式があります。

E(\(\bar{\bar{x}}\))=μ
V(\(\bar{\bar{x}}\))=\(\frac{M-m}{M-1}・\frac{σ_b^2}{m}\)+\(\frac{N-n}{N-1}・\frac{σ_w^2}{mn}\)
・\(m\)：1次サンプルの大きさ
・\(n\)：2次サンプルの大きさ
・\(σ_b^2\)：1次単位間の特性xの分散
・\(σ_w^2\)：1次単位内の特性xの分散
・M:1次単位の総数
・N:1次単位の大きさ
・\(\frac{M-m}{M-1},\frac{N-n}{N-1}\)：有限修正項
となりますよね。

でも、

と困ってしまいますよね。QCプラネッツも苦労しました。

そこで、

という思いで、解説していきます。

まとめると、以下を理解しておく必要があります。

なので、１つ１つ解説します。

今回は第5弾として「全分散の公式の導出」を解説します。

●いきなり、全分散の公式を理解しようとすると、挫折します。そこで、具体事例の計算過程を一回読んでから、公式導出するとかなり身近な式になります。

全分散の公式を含めて、条件つき期待値、条件つき分散を網羅して解説しています。

【必読】条件つき期待値・条件付き分散がわかる(離散型) 本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、 全分散の公式を実例を使って、数列で計算して確認します。

【必読】条件つき期待値・条件つき分散がわかる(連続型) 本記事では2段サンプリングの分散公式に必須な 条件付き期待値、条件付き分散、全分散の公式を実例を使って,積分で計算して確認します。

では、一般化して公式導出に入ります。

文字式でさっと書いていきます。

E(E(Y|X=x_i))
=\(\sum_{i} (E(Y|X=x_i))f_{xi}\)
=\(\sum_{i}(\sum_{j} y_j f_{Y|X}(y_i|x_i)) f_{xi}\)

ここで、\(y_j\)を前に出して、fを整理します。
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f_{Y|X}(y_i|x_i) f_{xi})\)
=\(\sum_{j} y_j(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)
=\(\sum_{j} y_j f_Y(y_j)\)
=E(Y)
となります。

ここで、１つわかりにくいポイントがあります。
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
になぜ変わるのか？です。

式だけではわかりにくいので、上の関連記事の事例を使って、具体的な数字を使って計算します。

結果的に、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

関連記事の例題から具体的な値で比較しましょう。
E(E(Y|X))の値は下表のようにまとめる事ができます。

上の表の⑧は
⑧＝[①×➁＋➂×➃＋⑤×⑥]×⑦
で計算して、
E[E[Y|X]]=E[Y]
を計算してます。

なお、E[Y]の求め方は、下表通りです。

上の2つの表を比較すると、

確かに、
\(\sum_{i} f(x_i,y_j)\)　⇒ \( f_Y(y_j)\)
が一致します。文字で解くと難しい場合は、具体例で理解しておくとよいです。

ここまで細かく解説するのは、ＱＣプラネッツだけですね。

機械的に、
V(Y)=E(Y²)-E(Y) ²
ですから、

V(Y|X) =E(Y²|X)-E(Y|X) ²
です。

●V(Y|X)の期待値E(V(Y|X)ですが、
E(V(Y|X)
=E(E(Y²|X)-E(Y|X) ²)
= E(E(Y²|X))-E(E(Y|X) ²)

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、
E(Y|X)⇒E(Y²|X)と見ると、

E(E(Y²|X))=E(Y²)です。あら、不思議！

よって、
E(V(Y|X)= E(Y²)- E(E(Y|X) ²) …(式1)

●次に、E(Y|X)の分散V(E(Y|X)) ですが、
V(E(Y|X))
=E(E(Y|X) ²)-(E(E(Y|X)))²

ここで、E(E(Y|X))=E(Y)ですから、

よって、
V(E(Y|X))=E(E(Y|X) ²)-(E(Y))²…(式2)

(式１)+(式2)より、下の色部分がキャンセルされます。
E(V(Y|X))= E(Y²)-E(E(Y|X) ²) …(式1)
V(E(Y|X))= E(E(Y|X) ²)-(E(Y))²…(式2)

よって、
E(V(Y|X))+ V(E(Y|X))= E(Y²)–(E(Y))²=V(Y)
が成り立ちます。

が導出できました。

全分散の公式の導出をわかりやすく解説しました。