畳み込み積分がよくわかる(正規分布と一様分布)
「畳み込み積分が、わからない、解けない？」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=ZとX-Y=Zは同じ結果）
- ➂一様分布の範囲有無による結果の違い
①畳み込み積分とは
畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。 |
➁畳み込み積分(X+Y=ZとX-Y=Zは同じ結果）
正規分布（簡単のため、平均μ=0、標準偏差σ=1）と一様分布の畳み込み積分を考えます。
例題
●\(f(x)\)= \( a \) (0 ≤ \(x\) ≤ T)
●\(g(y)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}y^2}\)
において、Z1=X+Y,Z2=X-Yを満たす確率密度関数\(h1(z)\), \(h2(z)\),を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
Z1=X+Y の場合
\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。
Z2=X-Y の場合
\((t)-(t-x)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
あとで解説しますが、
そのため、2通り解析します。
- 範囲なし：[-∞、∞]
- 範囲限定：0 ≤ \(x\) ≤ T)
解法step3(積分計算)
畳み込み積分
Z1=X+Y の場合
一旦積分区間を[-∞、∞]で記述します。あとで、場合分けします。
\( h1(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
=(式1)
Z2=X-Y の場合
一旦積分区間を[-∞、∞]で記述します。あとで、場合分けします。
\( h2(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x-z)dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(x-z)^2} dx \)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
=(式1)
と同じ式になります。
Z1,Z2は同じ結果なので、以後、(式1)を
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}(x-z)^2} dx \)
で、見ていきます。
(式１)は
\(x-z=t\)として、dx=dtとなります。代入すると、
(式１)
=\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
=(式2)
となります。
ここで、ガウス積分を考えると、
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx \)=\(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{a}}\)
\( a > 0 \)
(教科書に載っていますし、是非証明してみてください。)
積分区間が[-∞、∞]の場合のみ、(式2)の複雑な∫の部分が定量化できますが、
積分区間が有限の場合は、(式2)の複雑な∫の部分が式のまま残ります。
ここが、場合分けが必要になる部分です。
➂一様分布の範囲有無による結果の違い
２つの場合がありました。
- 範囲なし：[-∞、∞]
- 範囲限定：0 ≤ \(x\) ≤ T)
範囲なし：[-∞、∞]の場合
(式2)を計算すると
(式2)= \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
=\(a\)
となり、一様分布と正規分布を畳み込み積分すると、一様分布が出て来る結果となります。畳み込み積分した感じがでませんね。
範囲限定：0 ≤ \(x\) ≤ T)
一様分布は基本、「ある区間だけ一定の値で、それ以外の区間は0」です。
でもこれが、積分できない理由でもあります。
一様分布における区間の場合分けは関連記事に書いていますので、ご確認ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布と指数分布) 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布と指数分布を組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。 畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。 |
具体的には、下図の①➁➂の①➁で場合分けします。
①の場合
●①は(x,y)=(T,0)より上(つまりT ≤ z)なので、上図のように、x=0～Tの区間で積分
(式2)= \(\displaystyle \int_{-z}^{T-z} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
(ここで、t=x-zと変換しているので、0～Tではなく、 -z～T-zに注意！)
この式はこれ以上変形できません。
➁の場合
●➁は(x,y)=(0,0)以上①以下(つまり0 ≤ z ≤T)なので、図のように、x=0～zの区間で積分
(式2)= \(\displaystyle \int_{-z}^{0} a・\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt \)
(ここで、t=x-zと変換しているので、0～zではなく、 -z～0に注意！)
この式はこれ以上変形できません。
計算結果によらず、いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「畳み込み積分がよくわかる(正規分布と一様分布)」を解説しました。
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=ZとX-Y=Zは同じ結果）
- ➂一様分布の範囲有無による結果の違い
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