★ 本記事のテーマ
- ①畳み込み積分とは
- ➁積分区間の求め方がよくわかる
- ➂いろいろな確率密度関数どうしの畳み込み積分
- ➃畳み込み積分関連記事のご紹介
- 「畳み込み」って何かがイメージできない？
- 積分区間の求め方がいまいちわからない
- どんな関数を畳み込み積分使うのか？
- 事例が少ないから勉強してもわからない
など、畳み込み積分で苦しむので、畳み込み積分をわかりやすく解説しました！
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- 「畳み込み」は実はすでに中高数学でやっている！
- 積分区間の求め方を丁寧に解説(高２数学でＯＫ)
- 畳み込み積分の事例を解説(計算できるものとできないものがある)
- よく使う確率分布関数の事例をすべて解説！
- 全記事とも、１つの解法で解いているので、その解法さえ理解できたらＯＫ
畳み込み積分に関するサイトや教科書を読んでも、QCプラネッツ自身も理解がいまいちでした。苦心して学んだ末、簡単にマスターできるものをブログで解説します！
①畳み込み積分とは
畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。 |
➁積分区間の求め方がよくわかる
こんな悩みがありませんか？
これは、QCプラネッツ自身のリアルな悩みでした。あなたもどうでしょうか？
積分区間の考え方のポイント
３つあります。
- 2つの関数の変数x,yの制約条件をxy平面に図示する
- z=x+yとかz=x-yなどで畳み込み積分するが、この式をy=の式に直して、xy平面に図示する
- y=の式に直して、xy平面に図示するときにxyの制約条件によって場合分けの有無を確認する
関連記事で、視覚的に理解できるように解説していますので、ご確認ください。高２数学の「領域」がわかればOKです。
➂いろいろな確率密度関数どうしの畳み込み積分
畳み込み積分が苦手な理由あるある
教科書や他のサイトでは、
なので、QCプラネッツはよく使う確率分布関数を使って畳み込み積分やってみました！
QCプラネッツが取り扱う確率分布関数
以下の分布関数を例に、総当たりで畳み込み積分を実施しました。
- 一様分布
- 指数分布
- 正規分布
- ポアソン分布
- χ2乗分布
これだけあれば、十分でしょう！
畳み込み積分 総当たり表
解析した関数どうしの総当たり表です。
| ー | 一様分布 | 指数分布 | 正規分布 | ポアソン分布 | χ2分布 |
| 一様分布 | ○ | ○ | ○ | ○ | ○ |
| 指数分布 | – | ○ | ○ | ○ | ○ |
| 正規分布 | – | – | ○ | ○ | ○ |
| ポアソン分布 | – | – | – | ○ | ○ |
| χ2分布 | – | – | – | – | ○ |
畳み込み積分の解析結果
実は、
できない組み合わせがある！
実際は以下の結果です。
・畳み込み積分できた組み合わせは「●」、
・一部の条件だけ畳み込み積分できた組み合わせは「△」、
・できなかった組み合わせは「×」
で表記します。積分はできるものとできないものがあるので、仕方がありません。
| ー | 一様分布 | 指数分布 | 正規分布 | ポアソン分布 | χ2分布 |
| 一様分布 | ● | ● | ● | × | × |
| 指数分布 | – | ● | ● | × | △ |
| 正規分布 | – | – | ● | × | × |
| ポアソン分布 | – | – | – | ● | × |
| χ2分布 | – | – | – | – | ● |
つまり、
➃畳み込み積分関連記事のご紹介
まとめて紹介します。ここに確認ください。10記事があり、5つはブログで、残り5つはPDfテキストにまとめています。
| No | 記事 | ブログ/PDF |
| 1 | 畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) | ブログ |
| 2 | 畳み込み積分がよくわかる(指数分布と指数分布) | ブログ |
| 3 | 畳み込み積分がよくわかる(正規分布どうし、再生性) | ブログ |
| 4 | 畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布どうし、再生性) | ブログ |
| 5 | 畳み込み積分がよくわかる(正規分布と一様分布) | ブログ |
| 1 | 畳み込み積分がよくわかる(一様分布と指数分布) | |
| 2 | 畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布と他の分布関数) | |
| 3 | 畳み込み積分がよくわかる(正規分布と指数分布) | |
| 4 | 畳み込み積分がよくわかる(χ2乗分布どうし) | |
| 5 | 畳み込み積分がよくわかる(χ2乗分布と他の分布関数) |
(1)ブログ記事
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。 |
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畳み込み積分がよくわかる(指数分布と指数分布) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに指数分布どうしを組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。。 |
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畳み込み積分がよくわかる(正規分布どうし、再生性) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに正規分布どうしを組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。 |
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畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布どうし、再生性) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらにポアソン分布どうしを組み合わせた畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。 |
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畳み込み積分がよくわかる(正規分布と一様分布) 高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに正規分布と一様分布どうしの畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。 |
(2)PDF記事
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【QCプラネッツ畳み込み積分プレミアム勉強プリント】リンク |
| 1 | 畳み込み積分がよくわかる(一様分布と指数分布) | |
| 2 | 畳み込み積分がよくわかる(ポアソン分布と他の分布関数) | |
| 3 | 畳み込み積分がよくわかる(正規分布と指数分布) | |
| 4 | 畳み込み積分がよくわかる(χ2乗分布どうし) | |
| 5 | 畳み込み積分がよくわかる(χ2乗分布と他の分布関数) |
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畳み込み積分は１つの解法で、さまざまな分布関数を代入できるのですが、積分ができる・できない場合があります。教科書では、積分ができる場合のみ解説していますが、事例が少ないため理解が十分できない問題があります。
QCプラネッツでは積分ができない場合も記事で解説しています。
いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「【まとめ】畳み込み積分がよくわかる」を解説しました。
- ①畳み込み積分とは
- ➁積分区間の求め方がよくわかる
- ➂いろいろな確率密度関数どうしの畳み込み積分
- ➃畳み込み積分関連記事のご紹介