畳み込み積分がよくわかる(指数分布と指数分布)
「畳み込み積分が、わからない、解けない？」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z）
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z）
①畳み込み積分とは
畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。 |
➁畳み込み積分(X+Y=Z）
指数分布通しの場合、＋の畳み込みをn回繰返すと、ガンマ分布の式が導出できます！ 難しい式ですが、畳み込み積分を丁寧に解けば、できます！ ガンマ分布を自分のものにしましょう。
例題
●\(f(x)\)= \(λ e^{-λx}\) (0 ≤ x) それ以外は0
●\(g(y)\)=\(λ e^{-λy}\) (0 ≤ y) それ以外は0
において、Z=X+Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
領域を図示します。
その領域内で z=x+yを考えます。
すると、下図のように2パターン積分区間が変わります。
●①は(x,y)=(0,0)より上(つまり0 ≤ z)なので、図のように、x=0～zの区間で積分
●➁は(x,y)=(0,0)以下(つまりz ≤ 0)で、積分領域外なので、h(z)=0
という2つの場合分けをして、畳み込み積分をします。
難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
解法step3(積分計算)
➁0 ≤ zのとき
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{z} λ e^{-λx}・λ e^{-λ(z-x)} dx \)
=\( λ^2 e^{-λz} \left[ x \right]_0^z\)
=\( λ^2 z e^{-λz} \)
➁z ≤ 0のとき
積分領域外なので、h(z)=0
できましたね！
γ分布への導出
先ほどの\(f(x)\),\(g(y)\)を\(f_1(x)\),\(f_2(x)\)とすると、
\(f(x)\)=\(f_1(x)\)= \(f_2(x)\)= \(λ e^{-λx}\)
\(f_1*f_2(x)\)=\( λ^2 z e^{-λz} \)
ですね。
では、\(f_1*f_2*f_3(x)\)はどうなりますか？
\(f_1*f_2*f_3(x)\)= \((f_1*f_2)*(f_3)(x)\)
として、
\(f_1*f_2*f_3(x)\)= \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}(f_1*f_2(x))(f_3(z-x))dx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{z} λ^2 x e^{-λx}・λ e^{-λ(z-x)} dx \)
=\(λ^3 e^{-λz} \displaystyle \int_{0}^{z} x dx \)
=\( \frac{1}{2}λ^3 e^{-λz} \left[ x \right]_0^z\)
=\( \frac{1}{2}λ^3 z^2 e^{-λz} \)
一般化すると、
\(f_1*f_2*…*f_n(x)\)=\( \frac{(n-1)!}{λ^n x^{n-1}}e^{-λx} \)
と表現でき、これがガンマ分布の式になります。
証明は漸化式でも、数学的帰納法でもどちらでもＯＫです。高校数学の流れで十分解けますね。
➂畳み込み積分(X-Y=Z）
X+Y=ZからX-Y=Zに変えますが、解き方は全く同じです。でも端折らずに解説します。統計学は途中経過を端折ると読者が困ってしまいますから。
●\(f(x)\)= \(λ e^{-λx}\) (0 ≤ x) それ以外は0
●\(g(y)\)=\(λ e^{-λy}\) (0 ≤ y) それ以外は0
において、Z=X-Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)-(t-x)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
領域を図示します。
その領域内で z=x-yを考えます。
すると、下図のように1パターン積分区間が変わります。
●①図のように、x=0～∞の区間で積分
畳み込み積分をします。
難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
解法step3(積分計算)
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x-z)dx \)
=\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} λ e^{-λx}・λ e^{-λ(x-z)} dx \)
=\( λ^2 e^{λz} \left[ \frac{-1}{2λ} e^{-2λx} \right]_0^{\infty}\)
=\( \frac{λ}{2} e^{λz} \)
できましたね！
いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「畳み込み積分がよくわかる(一様分布と指数分布)」を解説しました。
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z）
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z）
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119