畳み込み積分がよくわかる(χ2乗分布と他の分布関数)
「畳み込み積分が、わからない、解けない？」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(χ2乗分布と一様分布)
- ➂畳み込み積分(χ2乗分布と指数分布)
- ➃畳み込み積分(χ2乗分布と正規分布)
χ2乗分布と他の分布関数との畳み込み積分の解説はどこにもありません。
でも、実際やってみて、どこが計算できないのか、くらいはやってみましょう！
①畳み込み積分とは
畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。 |
➁畳み込み積分(χ2乗分布と一様分布)
例題
●\(f(x)\)=\( a \) (\(x\) ≥ 0, \(a\) ≥ 0)
●\(g_m(y)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} y^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}y}\) (\(y\) ≥ 0)
において、Z=X+Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
領域を図示します。
その領域内で z=x+yを考えます。
すると、下図のように積分パターンは2パターンに場合分けされます。
●①は(x,y)=(0,0)以上 (つまり0 ≤ z)なので、図のように、x=0～zの区間で積分
●➁は(x,y)=(0,0)以下(つまりz ≤ 0)で、積分領域外なので、h(z)=0
より①だけ積分すればよいわけですね。
難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
解法step3(積分計算)
積分区間は全領域[o,z]で、畳み込み積分をします。
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g_m(z-x)dx \)
\(= \displaystyle \int_{0}^{z} a g_m(z-x)dx \)
\(= a \frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} \displaystyle \int_{0}^{z} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(z-x)} dx\)
\(= a \frac{ e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} \)\(\displaystyle \int_{0}^{z} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{\frac{x}{2}} dx\)
問題がありまして、
\(\displaystyle \int_{0}^{z} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{\frac{x}{2}} dx\)
が積分困難！
これ以上は解析が困難です。なので、χ2乗分布と一様分布の畳み込み積分は考えなくてもよいとわかり
ます。
➂畳み込み積分(χ2乗分布と指数分布)
例題
●\(f(x)\)=\( e^{-ax} \) (\(x\) ≥ 0, \(a\) ≥ 0)
●\(g_m(y)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} y^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}y}\) (\(y\) ≥ 0)
において、Z=X+Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
一様分布と同じで、x=0～zの区間で積分すればOKです。
解法step3(積分計算)
積分区間は全領域[o,z]で、畳み込み積分をします。
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g_m(z-x)dx \)
\(= \displaystyle \int_{0}^{z} e^{-ax} g_m(z-x)dx \)
\(= \frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} \displaystyle \int_{0}^{z} e^{-ax} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(z-x)} dx\)
\(= \frac{ e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} \)\(\displaystyle \int_{0}^{z} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{(\frac{1}{2}-a}) dx\)
=(式1)
問題がありまして、
\(a=\frac{1}{2}\)以外は\(\displaystyle \int_{0}^{z} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{(\frac{1}{2}-a}) dx\)
が積分困難！
なので、
\(e^{(\frac{1}{2}-a})=e^0=1\)
つまり、
\(a=\frac{1}{2}\)について解析します。
\(a=\frac{1}{2}\)の場合
(式1)は
(式1)
=\( \frac{ e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} \)\(\displaystyle \int_{0}^{z} (z-x)^{\frac{m}{2}-1}) dx\)
=\( \frac{ e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} \)\(\frac{2}{m+1}\left[(z-x)^{\frac{m+1}{2}}\right]_0^z\)
=\( \frac{ e^{-\frac{z}{2}}}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})}\)\(\frac{2}{m+1} z^{\frac{m+1}{2}} \)
何とか、積分できました！
➃畳み込み積分(χ2乗分布と正規分布)
例題
●\(f(x)\)=\( e^{\frac{1}{2}x^2} \)
●\(g_m(y)\)=\(\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} y^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}y}\) (\(y\) ≥ 0)
において、Z=X+Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
結局、積分できないオチなので、不定積分を見ていきましょう。
解法step3(積分計算)
不定積分だけ考えて、畳み込み積分をします。
\( h(z)= \displaystyle \int_{}^{} f(x)g_m(z-x)dx \)
\(= \displaystyle \int_{}^{} e^{-\frac{1}{2}x^2} g_m(z-x)dx \)
\(= \frac{1}{2^{\frac{m}{2}}Γ(\frac{m}{2})} \displaystyle \int_{}^{} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(z-x)} e^{-\frac{1}{2}x^2} dx\)
問題がありまして、
\(\displaystyle \int_{}^{} (z-x)^{\frac{m}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}(z-x)} e^{-\frac{1}{2}x^2} dx\)
が積分困難！
これ以上は解析が困難です。なので、χ2乗分布と正規分布の畳み込み積分は考えなくてもよいとわかります。
畳み込み積分は１つの解法で、さまざまな分布関数を代入できるのですが、積分ができる・できない場合があります。教科書では、積分ができる場合のみ解説していますが、事例が少ないため理解が十分できない問題があります。
QCプラネッツでは積分ができない場合も記事で解説しています。
χ2乗分布では、ごく一部の指数分布のみ畳み込み積分ができることがわかりました。
いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「畳み込み積分がよくわかる(χ2乗分布と他の分布関数)」を解説しました。
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(χ2乗分布と一様分布)
- ➂畳み込み積分(χ2乗分布と指数分布)
- ➃畳み込み積分(χ2乗分布と正規分布)
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