畳み込み積分がよくわかる(正規分布と指数分布)
「畳み込み積分が、わからない、解けない？」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z)
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z）は(X+Y=Zと同じ結果になる!)
①畳み込み積分とは
畳み込み積分の基本をまとめた関連記事を確認ください。
簡単にわかる解説と、身近な事例を挙げています。高校数学で理解できるレベルなので安心ください。
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畳み込み積分がよくわかる(一様分布どうし) 畳み込み積分が計算できますか？本記事では畳み込み積分のイメージを高校数学を使ってわかりやすく解説し、さらに一様分布を使った畳み込み積分の計算を途中経過を一切端折らずに解説しています。畳み込み積分の計算ができず困っている方は必見です。 |
➁畳み込み積分(X+Y=Z）
正規分布と指数関数の畳み込み積分を解析します。計算を簡単にするため平均μ=0、標準偏差σ=1の正規分布で計算します。
例題
●\(f(x)\)= \( e^{-ax}\) (\(x\)の範囲によって場合分けを考える)
●\(g(y)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}y^2}\)
において、Z=X+Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)+(x-t)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
xにおいては指数関数があるので2通り考えます。
●\(x\) : 全範囲
●\(x\) : 0 ≤ \(x\)
積分区間は全領域[-∞,∞]と[0,∞]の2通りで、畳み込み積分をします。
難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
解法step3(積分計算)
積分区間は全領域[-∞,∞]と[0,∞]の2通りで、畳み込み積分をします。
全領域[-∞,∞]の畳み込み積分
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax}・e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-az+\frac{a^2}{2}}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(x-(z-a))^2} dx \)
=(式1)
ここで、 \(t=x-(z-a))\)とおくと、\(dt=dx\)より、
(式1)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-az+\frac{a^2}{2}}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t ^2} dt \)
=(式2)
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx \)=\(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{a}}\)
\( a > 0 \)
(教科書に載っていますし、是非証明してみてください。)
を(式2)へ代入すると、
(式2)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-az+\frac{a^2}{2}} \sqrt{2π} \)
=\( e^{-az+\frac{a^2}{2}} \)
全領域[0,∞]の畳み込み積分
積分区間が変わるだけです。
\( h(z)= \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(x)g(z-x)dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-az+\frac{a^2}{2}}\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}(x-(z-a))^2} dx \)
=(式1)
ここで、 \(t=x-(z-a))\)とおくと、\(dt=dx\)より、
(式1)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-az+\frac{a^2}{2}}\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}t ^2} dt \)
=(式2)
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx \)=\(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{a}}\)
\( a > 0 \)
(教科書に載っていますし、是非証明してみてください。)
を(式2)へ代入すると、
(式2)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-az+\frac{a^2}{2}} \frac{\sqrt{2π}}{2} \)
=\( \frac{1}{2} (e^{-az+\frac{a^2}{2}}) \)
正規分布と指数関数の畳み込み積分は指数関数に係数が追加された感じになりましたね！
➂畳み込み積分(X-Y=Z）は(X+Y=Zと同じ結果になる!)
X+Y=ZからX-Y=Zに変えますが、解き方は全く同じです。でも端折らずに解説します。統計学は途中経過を端折ると読者が困ってしまいますから。
正規分布と指数関数の畳み込み積分を解析します。計算を簡単にするため平均μ=0、標準偏差σ=1の正規分布で計算します。
例題
●\(f(x)\)= \( e^{-ax}\) (\(x\)の範囲によって場合分けを考える)
●\(g(y)\)= \(\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2}y^2}\)
において、Z=X-Yを満たす確率密度関数\(h(z)\)を作れ。
難しい！と思ってしまいますが、落ち着いて解きましょう。次の3stepで解いていきます。
- 畳み込み積分の式を作る
- 積分区間を確認(ここが一番難しい)
- 積分区間の場合分けに合わせて丁寧に計算
解法step1(畳み込み積分の式を作る)
\((t)-(t-x)=x\)の関係が成り立っています。
解法step2(積分区間を確認)
xにおいては指数関数があるので2通り考えます。
●\(x\) : 全範囲
●\(x\) : 0 ≤ \(x\)
積分区間は全領域[-∞,∞]と[0,∞]の2通りで、畳み込み積分をします。
難しそうに見えますが、この場合分けも高校数学、領域のところで学ぶ内容です。
解法step3(積分計算)
積分区間は全領域[-∞,∞]と[0,∞]の2通りで、畳み込み積分をします。
全領域[-∞,∞]の畳み込み積分
\( h(z)= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x-z)dx \)
=\(\frac{1}{\sqrt{2π}} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax}・e^{-\frac{1}{2}(z-x)^2} dx \)
ここで、よく見ると \((z-x)^2\)=\((x-z)^2\)ですから、実は、Z=X+Yの畳み込み積分と同じ結果になります。
以下は➁Z=X+Yの畳み込み積分と同じ解説なので、割愛して、結果だけ書くと
\(h(x)= e^{-az+\frac{a^2}{2}} \)
全領域[0,∞]の畳み込み積分
積分区間が変わるだけです。
以下は➁Z=X+Yの畳み込み積分と同じ解説なので、割愛して、結果だけ書くと
\(h(x)= \frac{1}{2} ( e^{-az+\frac{a^2}{2}} )\)
正規分布と指数関数の畳み込み積分は指数関数に係数が追加された感じになりましたね！
いろいろな関数を使って畳み込み積分を見て慣れていきましょう！
本記事の内容は、ほぼ高校数学で解けましたね！
まとめ
「畳み込み積分がよくわかる(畳み込み積分がよくわかる(正規分布と指数分布)」を解説しました。
- ①畳み込み積分とは
- ➁畳み込み積分(X+Y=Z)
- ➂畳み込み積分(X-Y=Z）は(X+Y=Zと同じ結果になる!)
Warning: count(): Parameter must be an array or an object that implements Countable in /home/qcplanets/qcplanets.com/public_html/wp-content/themes/m_theme/sns.php on line 119