★ 本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
- ➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる
- ④順序統計量の同時確率密度関数の期待値・分散がよくわかる
順序にそって、期待値が増加していることを図で理解しよう！
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①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量の大事な基礎をまとめています。まず、ここで学習しましょう。
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【まとめ】 「順序統計量の考え方がよくわかる」 順序統計量をわかりやすく解説！大事な基礎をすべてまとめています。必見！ |
➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
(1) 順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)の導出についてです。
教科書の導出方法を解説します。
\(X\)=(\(X_1,…,X_n\))を\(n\)個の独立な確率標本とし、確率密度関数、および分布関数をそれぞれ\(f(x)\),\(F(x)\)とする。また、\(F_{(i)}\),\(i=1,…,n\)を\(i\)番目の順序統計量\(X_{(i)}\)の分布案数とする。
上図のように、事象\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\)(\(δx\)は微小とする)の起こる確率Prは、二項定理を使って
Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx)\)
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\) \(F(x)^{i-1} (1-F(x+δx))^{n-i} (F(x+δx)-F(x))\)
=(式1)
と表現できる。
二項定理から見ると、
●\(F(x)\)が\(i-1\)個
●\(F(x+δx)-F(x)\)が1個
●残り\(1F(x+δx)\)が\(n-i\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。
(式１)の微分が関数\(f_{(i)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx} \)
=\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!}\)\(F(x)^{i-1}(1-F(x))^{n-1} f(x)\)
=(式2)
((式1)の中の、\((F(x+δx)-F(x))/δx\)⇒\(f(x)\)になります。)
続いて、教科書的な同時確率密度関数の導出も見ましょう。
(2) 順序統計量の教科書的な同時確率密度関数の導出
関数\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)の導出についてです。
教科書の導出方法を解説します。
2つの順序統計量\(X_{(i)}\)、\(X_{(ij)}\)について考えるが、
●1 < \(i\) < \(j\) < \(n\)
とする。この場合、
\(x_i\) < \(X_{(i)}\) \(X_{(i)}\) \(x_i + δx_i\)および\(x_j\) < \(X_{(j)}\) \(X_{(j)}\) \(x_j + δx_j\)が同時に起こる確率Prは、下図と二項定理を使って以下で表現できる。
Pr(\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\),\(x\) < \(X_{(i)}\) < \(x+δx\))
=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(j-i-1)!1!(n-j)!}\) \(F(x)^{i-1} (F(x_j)-F(x_i +δx_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j + δx_j))^{n-j} (F(x_i +δx_i)-F(x_i)) (F(x_j +δx_j)-F(x_j))\)
=(式3)
で表現できる。
二項定理から見ると、
●\(F(x_i)\)が\(i-1\)個
●\(F(x_i+δx_i)-F(x_i)\)が1個
●\(F(x_j)-F(x_i + δx_i)\)が\(j-i-1\)個
●\(F(x_j+δx_j)-F(x_j)\)が1個
●1-\(F(x_j+δx_j)\)が\(n-j\)個
を選ぶ、場合の数を求めるイメージです。
(式3)の微分が関数\(f_{(i),(j)}(x)\)になるので、
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ Pr}{δx_i δx_j} \)
=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
(ここで、\(C_{i,j}=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}\))
=(式4)
((式3)の中の、
\((F(x_i+δx_i)-F(x_i))/δx_i\)⇒\(f_(i)(x)\)と
\((F(x_j+δx_j)-F(x_j))/δx_j\)⇒\(f_(j)(x)\)に
なります。)
➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる
二項定理から導出できるのは事実ですが、順序よく並ぶイメージがまったくありません。
むしろ、順序よく並ぶ関数が先にあって、それを整えて作られたのが順序統計量の確率密度関数の形であるとQCプラネッツでは考えています。
なので、
- 順序よく並ぶ関数の形を探す
- 関数の値が綺麗になるように係数で整える
の順番で順序統計量の確率密度関数を考えていきます。
高校数学の関数で期待値が昇順に並ぶ例を学ぶ
- 順序よく並ぶ関数の形を探す
- 関数の値が綺麗になるように係数で整える
を簡単な事例で解説します！ しかも高校数学でできます！
高校数学でしかも、\(x^n\)の式で、期待値が昇順に並ばせることができる関数があります。面白い！ので次の例題を提示します！大学入試に出題されてもいい良問です！
順序統計量の確率密度関数が理解できる高校数学問題
\(f_1 (x)= 5(1-x)^4\)
\(f_2 (x)= 5x(1-x)^3\)
\(f_3 (x)= 5x^2 (1-x)^2\)
\(f_4 (x)= 5x^3 (1-x)^1\)
\(f_5 (x)= 5x^4 \)
(つまり、\(f_i (x)= 5x^{i-1} (1-x)^{5-i}\) (\(i\)=1,2,3,4,5))
( 0 < \(x\) < 1)
を定義する。
(1) \(f_i (x)= 5x^{i-1} (1-x)^{5-i}\) (\(i\)=1,2,3,4,5))の概形を描け。
(2) 期待値E[\(x_i\)]=\( \displaystyle \int_{0}^{1} x f_i(x)\)を計算せよ。
(3) 期待値E’ [\(x_i\)]=\(\frac{5!}{i!(5-i)!}\)E[\(x_i\)]を求めよ。
ただし、以下の式\( \displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\)=\(\frac{(p-1)!}{(q-1)!}{(p+q-1)!}\)は証明せずに使ってよい。
どうでしょう。見た目、大学入試か高校の実力試験に出ても違和感ないですよね！
実際に解いてみましょう。
実は、上の例の(3)
期待値E’ [\(x_i\)]=\(\frac{5!}{i!(5-i)!}\)E[\(x_i\)]こそが順序統計量の確率密度関数の形になっていますし、この期待値を計算すると\(i/n\)に近い式になり、\(i\)を増やすと期待値もそれに従って順序よく増加し、下の図のイメージになります。
順序統計量の確率密度関数を理解する方法
再掲しますが、
- 順序よく並ぶ関数の形を探す
- 関数の値が綺麗になるように係数で整える
最初の、順序よく並ぶ関数の形を探すは、上の例題と関連記事の解説から
\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあれば、期待値は\(i\)を増やすごとに増加し、順序どおり並びます。
もっと一般化すると、
●\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(f(x)^{i}(1-f(x))^{n-i}\)が関数の項にあること
●\(x^{i}(y-x)^{j-i} (1-y)^{n-j}\)が関数の項にあること
となると、これらも順序よく並びます。
まず、二項定理から導出するのではなく、順序よく並ぶ関数を用意することが先とQCプラネッツは考えます。
次に、関数の値が綺麗になるように係数で整えるために二項定理のような係数がつきます。
実際に、\(x^{i}(1-x)^{n-i}\)を積分するとベータ関数を適用し、計算結果が階乗!を使いまくる式になります。そのままは使いにくいので、「!」を無くすように関数の前に係数が付きます。
つまり、下図のように順序統計量の式は構成されています。これは同時確率密度関数の場合も同じです。
難しい公式を無理に暗記せず、意味を理解しましょう。順序統計量は意味をよく理解することが大事です。
④順序統計量の同時確率密度関数の期待値・分散がよくわかる
結果を記述しますが、詳しい導出はプレミアムテキストにあります。
期待値と分散を導出する例題
●\(f(x)\)=1 (0 < \(x\) < 1)
●\(F(x)\)=x (0 < \(x\) < 1)
の一様分布に従うとする。このとき、\(X_{(i)}\)と\(X_{(j)}\) (0 < \(X_{(i)}\) < \(X_{(j)}\) < 1)の同時分布について
(1)期待値E[\(X_{(i)}\)]
(2)期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]
(3)分散V[\(X_{(i)}\)]
(4)共分散Cov[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]
をそれぞれ求めよ。
(i)期待値の導出
期待値をまとめると
●期待値E[\(X_{(i)}\)]= \(\frac{i}{n+1}\)
●期待値E[\(X_{(i)} X_{(j)}\)]= \(\frac{i(j+1)}{(n+1)(n+2)}\)
(ii)分散の導出
分散、共分散をまとめると
●期待値V[\(X_{(i)}\)]= \(\frac{i(n-i+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
●期待値V[\(X_{(i)} X_{(j)}\)] =\(\frac{i(n-j+1)}{(n+1)^2 (n+2)}\)
結果を記述しますが、詳しい導出はプレミアムテキストにあります。
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【QCプラネッツ順序統計量プレミアム勉強プリント】リンク |
まとめ
「順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量の教科書的な確率密度関数の導出
- ➂順序統計量確率密度関数の導出がもっと理解できる
- ④順序統計量の同時確率密度関数の期待値・分散がよくわかる