【信頼性工学】確率密度関数がわかる(指数関数)
「信頼性工学で使う確率密度関数が難しくて、よくわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
- ➁確率密度関数が指数関数の場合
- ➂故障率λの計算
- ➃確率密度関数の平均と分散の計算
- ➄故障率曲線との関係
①確率密度関数を導出するモデルを理解する
故障率は指数分布だけではない
特に信頼性工学の入門を解説している教科書やサイトは、
とインプットされがちです。
故障分布に合わせた確率密度関数を作る
例えば、寿命試験結果が以下のヒストグラムになったとします。
この図よく見ると、
なのに、
分布の種類
よく使う、確率密度関数で良いです。
- 一様分布
- 指数分布
- 正規分布
- ガンマ分布
- ワイブル分布
ガンマ分布とワイブル分布は無理矢理感がありますが、信頼性工学でよく使います。
大事なのは、
例えば、2次関数とかでも使ってもいいと思います。
では、個々の分布関数を見ていきます。
➁確率密度関数が指数関数の場合
モデル式から確率密度関数の導出
よく使われるので、解説します。
モデル図を見ましょう。
確率密度関数\(f(x)\)は密度関数\(F(x)\)の微分ですね。
信頼度\(R(x)\)と不信頼度\(F(x)\)の関係
これ混同しがちなので、きちっと整理しましょう。
信頼度はReliabilityと英語で書くので、信頼度\(R(x)\)と書きます。
不信頼度は失敗のFailureを英語で使って、不信頼度(故障度) \(F(x)\)と書きます。
そして大事な関係式があります。簡単です！
\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=-\(\displaystyle \frac{dF(x)}{dx} \)
(\(\)R(x)=1-\(F(x)\)の式を両辺\(x\)で微分)
また、
も成り立ちます。よく使いますが、頭が混乱しやすいので整理して理解しましょう。
モデル式から確率密度関数の導出
故障率は図のように傾きを表す確率密度関数(f(x))がキーです。
故障は、故障していないモノの一部から発生し、健在なモノの量に応じて故障度合いが変わるイメージを考えます。すると、次のモデル式（微分方程式）が作れます。
大事なのは、導出過程であるモデル式の立て方です。ここで、確率密度関数の型が決まります。関数の暗記ではなく、導出過程を理解しましょう。
モデル式を解くと、
\(f(x)\)=\( λR(x)\)
-\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=\(λR(x)\)
\(\frac{\displaystyle dR}{R} \)=\(-λ \displaystyle dx\)
(両辺)を積分すると
\(\displaystyle \int{}^{} \frac{\displaystyle dR}{R}\)=\( \displaystyle \int{}^{} -λ \displaystyle dx \)
\( log R\)=-\(λx\)
よって
\(R(x)\)=\(e^{-λx}\)
\(f(x)\)は
-\(\displaystyle \frac{dR(x)}{dx} \)=\(λe^{-λx}\)
となりますね。
➂故障率λの計算
故障率とは、\(f(x)\)と\(R(x)\)との比で計算します。よって、
\(λ(x)\)=\(\frac{f(x)}{R(x)}\)=λ と一定になります。
➃確率密度関数の平均と分散の計算
期待値E[\(x\)]の計算
期待値E[\(x\)]は
\(\displaystyle \int{0}^{∞} x f(x) dx\)
=\(\displaystyle \int{0}^{∞} x λe^{-λx}dx\)
=\(\left[ λ(-\frac{1}{λ} xe^{-λx}-\frac{1}{λ^2} e^{-λx}) \right]_0^∞\)
=\(\frac{1}{λ}\)
分散の計算
期待値E[\(x^2\)]の計算
期待値E[\(x^2\)]は
\(\displaystyle \int{0}^{∞} x^2 f(x) dx\)
=\(\displaystyle \int{0}^{∞} x^2 λe^{-λx}dx\)
=\(\left[ λ(-\frac{1}{λ} x^2 e^{-λx}-\frac{1}{λ^2} 2x e^{-λx}-\frac{2}{λ^3} e^{-λx}) \right]_0^∞\)
=\(\frac{2}{λ^2}\)
分散V[\(x\)]の計算
分散V[\(x\)]は
=E[\(x^2\)]- E[\(x\)])2
=\(\frac{2}{λ^2}\)-\(\frac{1}{λ^2}\)
=\(\frac{1}{λ^2}\)
以上、まとめると、
●分散V[\(x\)]=\(\frac{1}{λ^2}\)
➄故障率曲線との関係
バスタブ曲線との関係を考えましょう。
ここで、λとの関係を見ると
- λ > 0 ⇒ 初期故障期(DFR)
- λ = 0 ⇒ 偶発故障期(CFR)
- λ < 0⇒ 摩耗故障期(IFR)
と分けることができます。
まとめ
「【信頼性工学】確率密度関数がわかる(指数関数)」を解説しました。
- ①確率密度関数を導出するモデルを理解する
- ➁確率密度関数が指数関数の場合
- ➂故障率λの計算
- ➃確率密度関数の平均と分散の計算
- ➄故障率曲線との関係
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