【まとめ】順序統計量がわかる
「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量を導出する
- ➂順序統計量の同時確率密度関数が計算できる
- ➃中央値や幅の分布の確率密度関数がわかる
- ➄結局、R管理図のd2,d3の導出はわからず
- ⑥順序統計量の演習問題
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①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量とは
順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！
定義は、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。
確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
順序統計量のイメージ
言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。
面白いのは、
図で理解しましょう！ 下図をご覧ください。
もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。
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➁順序統計量を導出する
順序統計量を理解するには、手を動かして具体的な関数から順序統計量を導出する練習が一番よいです。
手計算では、一様分布、指数分布で対応できますが、正規分布は関数が複雑で計算できません。正規分布は順序統計量の考え方を変えた新たな表現を提案します。
関連記事で紹介しています。ご確認ください。
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➂順序統計量の同時確率密度関数が計算できる
同時分布の場合も順序統計量が計算できます。関連記事で確認ください。
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正しいなら、導出がわかるはずなんですけど。
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まとめ
「【まとめ】順序統計量がわかる」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量を導出する
- ➂順序統計量の同時確率密度関数が計算できる
- ➃中央値や幅の分布の確率密度関数がわかる
- ➄結局、R管理図のd2,d3の導出はわからず
- ⑥順序統計量の演習問題
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