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【まとめ】順序統計量がわかる

統計学

「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか?

こういう疑問に答えます。

本記事のテーマ

【まとめ】順序統計量がわかる
  • ①順序統計量のイメージが理解できる
  • ➁順序統計量を導出する
  • ➂順序統計量の同時確率密度関数が計算できる
  • ➃中央値や幅の分布の確率密度関数がわかる
  • ➄結局、R管理図のd2,d3の導出はわからず
  • ⑥順序統計量の演習問題
高校数学で十分わかる!
順序にそって、期待値が増加していることを図で理解しよう!

①順序統計量のイメージが理解できる

順序統計量とは

順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、2点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量!

定義は、

確率変数\(X_1\),\(X_2\),…,\(X_n\)が独立の確率分布に従うとき、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。

定義は、そうなんだ!と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)

順序統計量の確率分布関数を見たら、勉強辞めようとなっちゃいます!
順序統計量は式変形の解説が多いので、わかりやすく図で理解できるよう解説します。

順序統計量のイメージ

言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。

面白いのは、

確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は1つだが、整数\(i\)を0から1ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加していく!

図で理解しましょう! 下図をご覧ください。

順序統計量

もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は1つですが、整数\(i\)を0から1ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。

関連記事

順序統計量の基礎がよくわかる関連記事を紹介します。ご確認ください。

➁順序統計量を導出する

順序統計量を理解するには、手を動かして具体的な関数から順序統計量を導出する練習が一番よいです。

手計算では、一様分布、指数分布で対応できますが、正規分布は関数が複雑で計算できません。正規分布は順序統計量の考え方を変えた新たな表現を提案します。

関連記事で紹介しています。ご確認ください。

一様分布の順序統計量

指数分布の順序統計量

正規分布の順序統計量

➂順序統計量の同時確率密度関数が計算できる

同時分布の場合も順序統計量が計算できます。関連記事で確認ください。

➃中央値や幅の分布の確率密度関数がわかる

順序だけではなく、順序に並べた確率変数の幅や範囲Rについて確率密度関数を求めることができます。関連記事で解説していますので、ご確認ください。

➄結局、R管理図のd2,d3の導出はわからず

順序統計量を取り上げたきっかけは、R管理図のd2,d3の導出過程を解明することでしたが、すいません、まだ理解できていません。古書の原文をわかりやすく書き直したものを載せておきます。わかり次第お伝えします。

R管理図の係数d2,d3の導出がわからないまま、d2,d3の値は使いたくないですよね。JISに決まっているから正しい!という概念は正しいのでしょうか?

正しいなら、導出がわかるはずなんですけど。

⑥順序統計量の演習問題

演習問題を解くことで、順序統計量が身に付きます。4問提示していますので、是非解いてみてください。

これだけ、順序統計量を勉強したら大丈夫!

まとめ

「【まとめ】順序統計量がわかる」を解説しました。

  • ①順序統計量のイメージが理解できる
  • ➁順序統計量を導出する
  • ➂順序統計量の同時確率密度関数が計算できる
  • ➃中央値や幅の分布の確率密度関数がわかる
  • ➄結局、R管理図のd2,d3の導出はわからず
  • ⑥順序統計量の演習問題

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