順序統計量(正規分布)がよくわかる
「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量(正規分布)の期待値、分散は手計算ではしんどい
- ➂順序統計量を扱う関数を自分で定義する
- ➃(提案)順序統計量(正規分布)の期待値、分散を簡単に解ける方法
①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量とは
順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！
定義は、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。
確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
順序統計量のイメージ
言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。
面白いのは、
図で理解しましょう！ 下図をご覧ください。
もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。
視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。
➁順序統計量(正規分布)の期待値、分散は手計算ではしんどい
まずは、一様分布、指数分布の事例から読もう！
いきなり、正規分布の事例を読むと、苦戦します。なので、最初は、一様分布の事例から読んで欲しいです。関連記事を紹介します。
一様分布
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順序統計量の考え方がよくわかる 順序統計量を説明できますか？ 本記事では難解な順序統計量をわかりやすく解説します。整式を使い、期待値が順序に従い増加することを視覚的に理解できます。順序統計量を理解したい方は必見です。 |
指数分布
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順序統計量(指数関数)がよくわかる 順序統計量が説明できますか？ 本記事は指数分布の場合における順序統計量の期待値と分散を丁寧に導出します。順序統計量や統計学を学ぶ人は必読です。 |
正規分布の順序統計量は導出できない。。。
導出問題を出します。
重要なポイント
関連記事から以下が重要ですね。確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)の求め方は、
● \(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
ですが、
なので、
の\(F(x)\)に代入する式が無い。。。
困った！
実際は、近似式や数値解析を使って、無理矢理に正規分布の順序統計量を導出しますが、手計算で解析はムリです。
じゃー、どうしようか？ 正規分布の順序統計量は諦めるか？
➂順序統計量を扱う関数を自分で定義する
教科書の順序統計量の定義の特徴
順序統計量とは、定義を確認すると、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)が自然数\(i\)を増やすと、期待値が昇順に増えていきますが、この秘訣は
\(F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}\)の式にありました。
つまり、
しかし、この確率密度関数だと、
自体の計算が非常に難しい。
もっと簡単に順序統計量が定義できないか？
現行では、順序を表現するのは、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)であり、元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではないから計算がしんどい。
だったら、元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与えて、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)を簡単に定義してはどうか？
つまり
- 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではなく、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)に順序を与える考え方
- 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与える考え方
の２つの順序統計量の考え方ができそうです。特に後者側をQCプラネッツの提案型としたいです。
➃(提案)順序統計量(正規分布)の期待値、分散を簡単に解ける方法
正規分布の順序統計量
問いをこう変えます。
確率変数\(X\)はN(0,1)に従う正規分布とする。その場合の順序統計量の期待値\(E(X_i)\)と分散値\(V(X_i)\)を求めよ。
確率変数\(X_i\)はN(\(μ_i\),\(σ_i^2\))の正規分布に従う。なお、\(i\)が増えることに\(μ_i\)は増加する。その場合の順序統計量の期待値\(E(X_i)\)と分散値\(V(X_i)\)を求めよ。
こう考えると、
ただのN(\(μ_i\),\(σ_i^2\))の正規分布期待値\(E(X_i)\)と分散値\(V(X_i)\)を解くだけの問いになります。
要は、
正規分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ_i}e^{-\frac{(x-μ_i)^2}{2σ_i^2}}\)
のN(\(μ_i\),\(σ_i^2\))として扱えばよいという考え方です。
なお、
正規分布 \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ_i}e^{-\frac{(x-μ_i)^2}{2σ_i^2}}\)
から、期待値\(μ_i\)と分散\(σ_i^2\)の導出は割愛します。教科書や他のサイトでも多々に書いていますので。
順序統計量は自分で定義していい
\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
の式のイメージがつよいですが、
- 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)ではなく、確率密度関数\(f_{(i)}(x)\)に順序を与える考え方
- 元の関数\(f(x)\)や変数\(x\)に順序を与える考え方
変数に順序を持たせるなどの性質を確率密度関数に入れる場合、どこに性質を仕込むかは考えてもよいでしょう。
まとめ
「順序統計量(正規分布)がよくわかる」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁順序統計量(指数関数)が理解できる
- ➂順序統計量(指数関数)の期待値が計算できる
- ➃順序統計量(指数関数)の分散が計算できる
- ➄自分で解いてわかった面白い事実
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