順序統計量の演習問題(その2)
「順序統計量がさっぱりわからない」と困っていませんか？
こういう疑問に答えます。
本記事のテーマ
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題(その1で解説)
- ➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題(その1で解説)
- ➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)
- ➄(iv)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ)
①順序統計量のイメージが理解できる
順序統計量とは
順序統計量は意外と使われています。範囲R、R管理図、２点間距離の分布とかです。直観的にはわかりやすけど、数式で書くとめっちゃムズイのが順序統計量！
定義は、
これらを大きい順に並べたとき、\(k\)番目の確率変数を\(X_{(k)}\)と書くと、
\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並ぶ統計量を基本統計量という。
定義は、そうなんだ！と言う感じですが、確率分布関数を見ると「なんじゃこりゃ」とムズくなります。
確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)
順序統計量のイメージ
言葉の定義どおり、\(X_{(1)}\) < \(X_{(2)}\) < \(X_{(k)}\) < … < \(X_{(n)}\)
に並びます。
面白いのは、
図で理解しましょう！ 下図をご覧ください。
もともと確率分布関数\(f_{(i)}(x)\)の式は１つですが、整数\(i\)を0から１ずつ増やして代入してできる確率分布関数の期待値を計算すると、期待値がちゃんと増加しているのがわかりますよね。
視覚的に順序統計量がイメージできたところで、実際に計算して、上図を作ってみましょう。
➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題(その1で解説)
➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題(その1で解説)
(その１)では関連記事で解説していますので、先に確認ください。2問演習問題があります。
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順序統計量の演習問題(その1) 順序統計量が説明できますか？順序統計量が計算できますか？ 本記事では、順序統計量を理解できる良問を演習問題として２回に分けて解説します。解説記事と合わせてご覧ください。統計学を学ぶ方は必見です。 |
➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)
演習問題
\(X_1\)、\(X_2\)、…、\(X_n\)が順序統計量に従うとする。
(1) \(X_1\)の確率密度関数を求めよ。
(2) \(X_n\)の確率密度関数を求めよ。
(3) \(R=X_n – X_1\)の確率密度関数を求めよ。
難しそうな問ですが、１つ１つ解いていきましょう。
解法のポイント
ポイントは、
- 順序統計量の同時確率密度関数
- 順序統計量の幅の分布
を使います。
関連記事も紹介しますので、不安な場合は関連記事の解説を読んでください。
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順序統計量の同時確率密度関数の導出がよくわかる 順序統計量が説明できますか？本記事では、順序統計量の同時分布の確率密度関数をわかりやすく解説します。教科書読んでもわからない方は必読です。 |
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順序統計量の幅の分布がわかる 順序統計量が説明できますか？ 本記事はR管理図の係数を導出する入口である順序統計量の幅の分布について解説します。順序統計量や統計学をマスターしたい方は必読です。 |
解法
確率密度関数と分布関数
それぞれ先に導出しておくと、
●\(f(x)\)=\(λe^{-λx}\) (\(x\) > 0)
●\(F(x)\)=\(1-e^{-λx}\) (\(x\) > 0)
ですね。
(1)の解法
公式
\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)から
\(f_{(1)}(x)\)=\(\frac{n!}{(1-1)!1!(n-1)!} F(x)^{1-1}[1-F(x)]^{n-1}f(x)\)
=\(\frac{n!}{(n-1)!} [1-F(x)]^{n-1}f(x)\)
=\(n [1-(1-e^{-λx})]^{n-1}・λe^{-λx}\)
=\(nλe^{-nλx}\)
(2)の解法
公式
\(f_{(i)}(x)\)=\(\frac{n!}{(i-1)!1!(n-i)!} F(x)^{i-1}[1-F(x)]^{n-i}f(x)\)から
\(f_{(n)}(x)\)=\(\frac{n!}{(n-1)!1!(n-n)!} F(x)^{n-1}[1-F(x)]^{n-n}f(x)\)
=\(\frac{n!}{(n-1)!} F(x)^{n-1}f(x)\)
=\(n ^{n-1}f(x)\)
=\(n(1-e^{-λx})^{n-1} λe^{-λx}\)
=\(nλ(1-e^{-λx})^{n-1} e^{-λx}\)
(3)の解法
\(R=X_n -X_1\)より幅の分布を考えます。
\(R\)は、同時確率密度関数を用いて、
公式
\(f_{(i),(j)}(x_{(i)},x_{(j)})\)=\(C_{i,j}F(x_i)^{i-1}\)\((F(x_j)-F(x_i))^{j-i-1}\)\((1-F(x_j))^{n-j}f(x_i)f(x_j)\)
を使って
\(f_R(r)\)= \(f_{(1),(n)}(x_1,x_n)\)
=\(n(n-1)[(F(x_1 +r)-F(x_1)]^{n-2} f(x_1) f(x_1 +r)\)
=\(n(n-1)[ (1-e^{-λ(x_1+r)})- (1-e^{-λx_1})]^{n-2} λe^{-λx_1} λe^{-λ(x_1+r)}\)
=\(n(n-1)λ^2 e^{-λ(2x_1+r)} (e^{-λx_1}-e^{-λ(x_1+r})^{n-2}\)
=(式1)
(式1)を\(r\)について積分し、\(x_1\)を\(x\)に書き直します。
\(R\)の確率密度関数は
\(f_R(x)\)= \( \displaystyle \int_{0}^{∞} (式1) dr \)
= \( \displaystyle \int_{0}^{∞} n(n-1)λ^2 e^{-λ(2x_1+r)} (e^{-λx_1}-e^{-λ(x_1+r})^{n-2} dr\)
=\(n(n-1)λ^2 e^{-nλx} \int_{0}^{∞} e^{-λr}(1-e^{-λr})^{n-2} dr \)
=(式2)
ここで、\(e^{-λr}=t\)とおくと、\(dt\)=\(-λt dr\)となり、(式2)に代入します。
(式2)
=\(n(n-1)λ^2 e^{-nλx} -\frac{1}{λ} \displaystyle \int_{1}^{0} (1-t)^{n-2} dt \)
=\(n(n-1)λe^{-nλx} \displaystyle \int_{0}^{1} (1-t)^{n-2} dt \)
=\(nλe^{-nλx}\)
となります。
できましたね！
➄(iv)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ)
演習問題
標本範囲\(R\)=\(X_n -X_1\)を考える。
(1) 標本範囲\(R\)確率密度関数\(f_R (x)\)を求めよ。
(2) 標本範囲\(R\)の期待値E[R]を計算せよ。
(3) 標本範囲\(R\)が半分の\(\frac{1}{2}\)より大きくなる確率を求めよ。
解法のポイント
➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)と同じなので、関連記事を再度確認ください。
解法
(1)の解法
実は、(1)は関連記事の例題と同じなので、途中経過は関連記事を読んでください。
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順序統計量の幅の分布がわかる 順序統計量が説明できますか？ 本記事はR管理図の係数を導出する入口である順序統計量の幅の分布について解説します。順序統計量や統計学をマスターしたい方は必読です。 |
(2)の解法
期待値E[R]は
E[R] =\( \displaystyle \int_{0}^{1} r f_R (r) dr \)
=\( n(n-1) \displaystyle \int_{0}^{1} r^{n-1} (1-r)dr \)
=\(\frac{n-1}{n+1}\)
(計算してみてください。)
となり、１に近い値になります。不思議！
(3)の解法
確率は確率密度関数\(f_R (x)\)を積分した結果になります。
Pr(R ≥ 1/2) = \( \displaystyle \int_{1/2}^{1} f_R (r) dr \)
=\( n(n-1) \displaystyle \int_{1/2}^{1}r^{n-2}(1-r) dr \)
=1-\((\frac{1}{2})^n (n+1)\)
となります。
順序統計量の演習問題（その1）と（その２）の４問を解説しました。これくらい演習しておけば、順序統計量は大丈夫でしょう。重要な問題なので、是非読んでください。
まとめ
「順序統計量の演習問題(その2)」を解説しました。
- ①順序統計量のイメージが理解できる
- ➁(i)順序統計量と確率変数の変換の演習問題(その1で解説)
- ➂(ii)順序統計量の具体例の演習問題(その1で解説)
- ➃(iii)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅰ)
- ➄(iv)順序統計量の範囲Rの演習問題(Ⅱ)
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